Решить треугольник АВС: угол В=60 градусов, АВ=14,ВС=20

Задан треугольник ABC: угол B = 60°, AB = 14, BC = 20. Нужно найти оставшиеся стороны и углы.

1. Найдём сторону AC ( oppositе углу B ) по теореме косинусов (SAS): AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos(B)

cos(60°) = 1/2, значит: AC^2 = 14^2 + 20^2 − 2·14·20·(1/2) = 196 + 400 − 280 = 316 AC = sqrt(316) = 2·sqrt(79) ≈ 17.776

2. Найдём угол A. Для угла A используем закон cosines: cos(A) = (AB^2 + AC^2 − BC^2) / (2·AB·AC)

Подстановка: cos(A) = (196 + 316 − 400) / (2·14·sqrt(316)) = 112 / (28·sqrt(316)) = 4 / sqrt(316) = 2 / sqrt(79)

Численно cos(A) ≈ 2 / 8.888… ≈ 0.225, поэтому A ≈ arccos(0.225) ≈ 76.9° (приближённо)

3. Найдём угол C: C = 180° − B − A ≈ 180° − 60° − 76.9° ≈ 43.1°

4. Контроль через синусы (по теореме синусов) для проверки: a = BC = 20 (против A), b = AC = sqrt(316) ≈ 17.776 (против B), c = AB = 14 (против C)

sin A = a·sin B / b ≈ 20·sin(60°) / 17.776 ≈ 0.974 → A ≈ 76.9° (совпадает) sin C = c·sin B / b ≈ 14·sin(60°) / 17.776 ≈ 0.682 → C ≈ 43.1° (совпадает)

Итог:

• AC = sqrt(316) = 2√79 ≈ 17.78
• ∠A ≈ 76.9°
• ∠B = 60°
• ∠C ≈ 43.1°

Дополнительный бонус: площадь треугольника можно посчитать как S = (1/2)·AB·BC·sin(B) = (1/2)·14·20·sin(60°) = 140·(√3/2) = 70√3 ≈ 121.2.