известно, что порядок числа а равен 21. Найдите порядок числа 0.001×а

Задача в контекте умножения комплексных чисел: известно, что ord(a) = 21, то есть a^21 = 1 и для меньших n такого не бывает. Найдём ord(0.001 × a).

Пошаговое решение:

• Обозначим b = 0.001 × a.
• Пусть ord(b) было бы конечным и равно n. Тогда бы выполнялось b^n = 1.
• Подстановка даёт: (0.001)^n × a^n = 1.
• Возьмём модули обеих частей: |b^n| = |0.001|^n × |a^n|.
• Так как a^21 = 1, все корни a являются корнями единицы, значит |a| = 1, и следовательно |a^n| = 1.
• Тогда |b^n| = (0.001)^n. Чтобы b^n = 1, надо и по модулю: (0.001)^n = 1. Но для n > 0 это невозможно, потому что 0.001 ∈ (0,1) и (0.001)^n ∈ (0,1).
• Противоречие: не существует положительного n such that b^n = 1.

Вывод:

• Порядок числа 0.001 × a не конечен; он бесконечен (то есть такого n не существует). Иначе говоря, ord(0.001 × a) = ∞.

Кратко: умножение корня единицы a на обычное число 0.001 даёт элемент, чьи степени не могут вернуться к 1 за конечное число шагов, потому что модуль степеней становится бесконечно малым и никогда не становится равным 1.