на рисунке диагонали параллелограмма MNPQ пересекаются в точке O Докажите, что четырёхугольник ABCD (в параллелограмме MNPQ) является параллелограммом если OA=1/3 OM, OB=2/3 ON,…

Пояснение и решение:

Дано параллелограм MNPQ с диагоналями MP и NQ, пересекающимися в точке O (то есть O — середина MP и середина NQ). По условию:

• OA = 1/3 OM, то есть A лежит на луче OM и в 1/3 от O к M.
• OB = 2/3 ON, т.е. B лежит на луче ON и в 2/3 от O к N.
• OC = 1/3 OP, т.е. C лежит на луче OP и в 1/3 от O к P.
• OD = 2/3 OQ, т.е. D лежит на луче OQ и в 2/3 от O к Q.

Заметим следующее:

• Так как MP и NQ — диагонали параллелограмма MNPQ, то диагонали пересекаются в их серединах: OP = −OM и OQ = −ON (если считать O за начало координат, или же векторно OM и OP противоположны по направлению, как и ON и OQ).

Теперь выразим положение точек A, B, C, D через вектора OM и ON (считая O в качестве начала координат):

• OA = (1/3) OM, значит A имеет векторную позицию a = (1/3) m.
• OB = (2/3) ON, значит B имеет b = (2/3) n.
• OC = (1/3) OP = (1/3)(−OM) = −(1/3) m, значит C имеет c = −(1/3) m.
• OD = (2/3) OQ = (2/3)(−ON) = −(2/3) n, значит D имеет d = −(2/3) n.

Обратим внимание на суммы противоположных вершин:

• a + c = (1/3)m + (−1/3)m = 0.
• b + d = (2/3)n + (−2/3)n = 0.

Отсюда a + c = b + d. Это означает, что середины диагоналей AC и BD совпадают (они обе лежат в точке O). Значит диагонали AC и BD пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам.

Следовательно, ABCD — параллелограмм (диагонали ABCD делят друг друга пополам).

Кратко резюме: A и C симметричны относительно O (AC проходит через O и AO = OC), B и D симметричны относительно O (BD проходит через O и BO = OD); значит диагонали AC и BD параллелограмма пересекаются в их серединах, следовательно ABCD — параллелограмм.