Сколько плоскостей, заданных вершинами куба A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ , параллельны прямой D 1 D D 1 ​ D ?

Задача: сколько плоскостей, заданных вершинами куба A B C D A1 B1 C1 D1, параллельны прямой DD1?

Пояснение и решение пошагово:

• Прямая DD1 — это вершина D внизу и её верхняя копия D1; она идёт вертикально вверх (по оси z). Значит плоскость, параллельная этой прямой, должна быть вертикальной (ее нормаль не имеет компонент по z).

• Итак, ищем все плоскости, которые проходят через вершины куба и являются вертикальными (то есть имеют форму ax + by + d = 0, без z-части).

• Вертикальная плоскость, проходящая через куб, образуется линией в основаниях z = 0, которая проходит через две вершины основания ABCD. В основании таких линий шесть: AB, BC, CD, DA (четыре стороны) и диагонали AC, BD (две диагонали).

• Каждая такая база-линиия вместе с вертикальным направлением образует плоскость, параллельную DD1. Эти плоскости:

  1. через AB: ABB1A1
  2. через BC: BCC1B1
  3. через CD: CDD1C1
  4. через DA: DAA1D1
  5. через AC: ACC1A1
  6. через BD: BDD1B1

• Каждая из них действительно параллельна DD1 и задана вершинами куба.

Ответ: 6.