sin^2 x=1-cos^2 x 5-5 cos^2 x + 6cos x-6=0

Цель: понять решение детально.

1. Первая часть задачи: sin^2 x = 1 - cos^2 x

• Это стандартное тождество: sin^2 x + cos^2 x = 1, значит sin^2 x = 1 − cos^2 x для любого x.
• Следовательно, первая часть не ограничивает x и по сути не дает дополнительных условий.

2. Вторая часть задачи: 5 − 5 cos^2 x + 6 cos x − 6 = 0

• Упростим: 5 − 5 cos^2 x + 6 cos x − 6 = 0
• Приведем подобное: −5 cos^2 x + 6 cos x − 1 = 0
• Умножим на −1: 5 cos^2 x − 6 cos x + 1 = 0
• Пусть t = cos x. Тогда получаем квадратное уравнение: 5 t^2 − 6 t + 1 = 0

3. Решение квадр. уравнения для t = cos x

• Дискриминант: D = (−6)^2 − 4·5·1 = 36 − 20 = 16
• Корни: t = [6 ± √16] / (2·5) = (6 ± 4) / 10
• Значения cos x:
  • t1 = (6 + 4)/10 = 10/10 = 1
  • t2 = (6 − 4)/10 = 2/10 = 1/5

4. Общее решение по x

• Из cos x = 1: x = 2πk, где k ∈ Z.
• Из cos x = 1/5: x = ± arccos(1/5) + 2πk, где k ∈ Z.
  • В диапазоне [0, 2π) это примерно:
    • x ≈ arccos(1/5) ≈ 1.3694 rad
    • x ≈ 2π − arccos(1/5) ≈ 4.9138 rad

Итого

• Все решения задачи состоят из сочетания решений второго уравнения: cos x ∈ {1, 1/5}.
• Первый факт не ограничивает x (он истинен для любого x), поэтому решения задаются только второй частью: x = 2πk или x = ± arccos(1/5) + 2πk, k ∈ Z.