найдите НОД (n,d),если : а) n= 3*5*7*7*11, d=5*5*7*11; б) n=756, d=720

Ниже подробное решение по каждому пункту.

а) n = 3 · 5 · 7 · 7 · 11, d = 5 · 5 · 7 · 11

1. Запишем разложение на простые с показателями степеней:

• n = 3^1 · 5^1 · 7^2 · 11^1
• d = 5^2 · 7^1 · 11^1

2. НОД выбираем как произведение общих простых с минимальными показателями степеней для этих простых:

• для 3: min(1, 0) = 0 → 3 не входит в НОД
• для 5: min(1, 2) = 1 → 5^1
• для 7: min(2, 1) = 1 → 7^1
• для 11: min(1, 1) = 1 → 11^1

3. Итак, НОД равен: НОД(n, d) = 5 · 7 · 11 = 385

4. Быстрая проверка (вариант Евклида): любые два числа, делятся на 385?

• 385 · 21 = 8085, а здесь n = 3 · 5 · 7^2 · 11 = 3 · 5 · 49 · 11 = 3 · 5 · 539 = 3 · 2695? не обязательно. Но по разложению видно, что 385 делит и n и d, и т.д. Это подтверждает правильность.

Ответ для а): 385

б) n = 756, d = 720

1. Разложение на простые:

• 756 = 2^2 · 3^3 · 7
• 720 = 2^4 · 3^2 · 5

2. НОД определяется по минимальным степеням общих простых:

• 2: min(2, 4) = 2 → 2^2
• 3: min(3, 2) = 2 → 3^2
• 5: min(0, 1) = 0 → нет 5 в НОД
• 7: min(1, 0) = 0 → нет 7 в НОД

3. НОД равен: НОД(n, d) = 2^2 · 3^2 = 4 · 9 = 36

4. Быстрая проверка Евклидом:

• gcd(756, 720) = gcd(720, 36) (потому что 756 - 720 = 36)
• gcd(720, 36) = 36, так как 720 = 36 · 20
• Значит gcd = 36, что совпадает с разложением на простые.

Ответ для б): 36

Итог:

• а) НОД(n, d) = 385
• б) НОД(n, d) = 36

Если хочешь, могу показать альтернативные способы вычисления (например, непосредственно через Евклидов алгоритм без факторизации).