(x⁵-5x⁴+3x²+2x-7):(x²-1)

Задача: (x^5 - 5x^4 + 3x^2 + 2x - 7) ÷ (x^2 - 1)

Цель: понять пошагово разложение через многочлена деления.

1. Подготовка

• Запишем делимый так, чтобы у него был явный пропуском степенной член: x^5 - 5x^4 + 0x^3 + 3x^2 + 2x - 7.
• Делитель: x^2 - 1 (степень 2).

2. Первый шаг деления

• Лидирующий член делимого: x^5. Делим на x^2: получаем x^3.
• Умножаем делитель на x^3: x^5 - x^3.
• Вычитаем из текущего остатка: (x^5 - 5x^4 + 0x^3) - (x^5 - x^3) = -5x^4 + x^3.
• Притягиваем оставшиеся члены: получаем остаток -5x^4 + x^3 + 3x^2 + 2x - 7.

3. Второй шаг деления

• Лидирующий член остатка: -5x^4. Делим на x^2: -5x^2.
• Умножаем делитель на -5x^2: -5x^4 + 5x^2.
• Вычитаем: (-5x^4 + x^3 + 3x^2) - (-5x^4 + 5x^2) = x^3 - 2x^2.
• Притягиваем оставшиеся члены: остаётся x^3 - 2x^2 + 2x - 7.

4. Третий шаг деления

• Лидирующий член остатка: x^3. Делим на x^2: x.
• Умножаем делитель на x: x^3 - x.
• Вычитаем: (x^3 - 2x^2 + 2x) - (x^3 - x) = -2x^2 + 3x.
• Притягиваем оставшиеся члены: остаётся -2x^2 + 3x - 7.

5. Четвёртый шаг деления

• Лидирующий член остатка: -2x^2. Делим на x^2: -2.
• Умножаем делитель на -2: -2x^2 + 2.
• Вычитаем: (-2x^2 + 3x - 7) - (-2x^2 + 2) = 3x - 9.

6. Итог

• Остаток имеет меньшую степень, чем делитель, значит деление завершено.
• Частное: x^3 - 5x^2 + x - 2
• Остаток: 3x - 9

Ответ в виде дроби: (x^5 - 5x^4 + 3x^2 + 2x - 7) ÷ (x^2 - 1) = x^3 - 5x^2 + x - 2 + (3x - 9)/(x^2 - 1)

Дополнительно (для понимания разложения дробной части): (3x - 9)/(x^2 - 1) можно разложить на частные дроби: (3x - 9)/(x^2 - 1) = A/(x-1) + B/(x+1) решая A+B = 3 и A-B = -9, получаем A = -3, B = 6. Тогда (3x - 9)/(x^2 - 1) = -3/(x-1) + 6/(x+1).

Проверка: умножим частное на делитель и добавим остаток — получим исходный делимый. Это подтверждает правильность решения. Обратите внимание на домен: x^2 - 1 ≠ 0, то есть x ≠ ±1.