решите уравнение¹/(x-3)²-³/x-3-4=0

Задача: решить уравнение 1/(x-3)^2 - 3/(x-3) - 4 = 0, где x ≠ 3.

Способ 1. Подстановка

1. Пусть t = 1/(x-3). Тогда уравнение принимает вид t^2 - 3t - 4 = 0.
2. Разложим квадратный тройной: (t - 4)(t + 1) = 0.
3. Получаем два решения для t: t = 4 или t = -1.
4. Возвращаемся к x:
   • Если t = 4, то 1/(x-3) = 4 ⇒ x - 3 = 1/4 ⇒ x = 3 + 1/4 = 13/4.
   • Если t = -1, то 1/(x-3) = -1 ⇒ x - 3 = -1 ⇒ x = 2.
5. Проверка: обе точки удовлетворяют исходному уравнению и не равны 3 (где выражение не определено).

Способ 2. Умножение на (x-3)^2

1. Умножим обе части на (x-3)^2 (это допустимо при x ≠ 3): 1 - 3(x-3) - 4(x-3)^2 = 0.
2. Обозначим y = x - 3. Тогда получим 1 - 3y - 4y^2 = 0, или 4y^2 + 3y - 1 = 0.
3. Раскроем квадратное: (4y - 1)(y + 1) = 0.
4. Получаем y = 1/4 или y = -1. Переводим обратно в x: x = 3 + y → x = 13/4 или x = 2.
5. Учитываем домен: x ≠ 3. Оба решения допустимы.

Ответ: x ∈ {2, 13/4}.