Решите уравнение¹/(x-3)²-³/x-3-4=0

Задача: решить уравнение 1/(x-3)^2 - 3/(x-3) - 4 = 0, где x ≠ 3. Способ 1. Подстановка 1) Пусть t = 1/(x-3). Тогда уравнение принимает вид t^2 - 3t - 4 = 0. 2) Разложим квадратный тройной: (t - 4)(t + 1) = 0. 3) Получаем два решения для t: t = 4 или t = -1. 4) Возвращаемся к x: - Если t = 4, то 1/(x-3) = 4 ⇒ x - 3 = 1/4 ⇒ x = 3 + 1/4 = 13/4. - Если t = -1, то 1/(x-3) = -1 ⇒ x - 3 = -1 ⇒ x = 2. 5) Проверка: обе точки удовлетворяют исходному уравнению и не равны 3 (где выражение не определено). Способ 2. Умножение на (x-3)^2 1) Умножим обе части на (x-3)^2 (это допустимо при x ≠ 3): 1 - 3(x-3) - 4(x-3)^2 = 0. 2) Обозначим y = x - 3. Тогда получим 1 - 3y - 4y^2 = 0, или 4y^2 + 3y - 1 = 0. 3) Раскроем квадратное: (4y - 1)(y + 1) = 0. 4) Получаем y = 1/4 или y = -1. Переводим обратно в x: x = 3 + y → x = 13/4 или x = 2. 5) Учитываем домен: x ≠ 3. Оба решения допустимы. Ответ: x ∈ {2, 13/4}.