y=x² график функц.

Задача: график функции y = x^2

Цель: понять график и его основные свойства (для 10 класса).

Пошаговое решение и объяснения

1. Что за график

• Функция y = x^2 — квадратичная. Её график всегда представляет собой параболу, которая открывается вверх (потому что коэффициент при x^2 равен +1).

2. Основные параметры графика

• Домейн (область определения): все вещественные числа. Можно писать: (-∞, +∞).
• Нули функции (пересечения с осью x): решаем x^2 = 0 → x = 0. Точка пересечения с осью x: (0, 0).
• Пересечение с осью y: подставляем x = 0 → y = 0. Точка: (0, 0). То есть график пересекает обе оси только в начале координат.
• Вершина параболы: для y = a(x − h)^2 + k вершина = (h, k). В нашем случае y = (x − 0)^2 + 0, значит вершина V = (0, 0).
• Ось симметрии: прямая x = h. Здесь h = 0, поэтому ось симметрии — вертикальная ось y (y‑ось).
• Направление ветвей: вверх, так как коэффициент a = +1 > 0.
• Ряд свойств: парабола симметрична относительно оси симметрии и принимает одно значение y для пары x = ±t (для любого t).

3. Таблица значений (для построения) Положим несколько значений x и найдём y:

• x = -3 → y = 9
• x = -2 → y = 4
• x = -1 → y = 1
• x = 0 → y = 0
• x = 1 → y = 1
• x = 2 → y = 4
• x = 3 → y = 9

4. Как нарисовать график

• Начертите координатные оси.
• Отметьте вершину в (0, 0).
• Отметьте ось симметрии x = 0 (ось y).
• Постройте точки, взяв пары (±1, 1), (±2, 4), (±3, 9) и т. д.
• Соедините точки плавной гладкой кривой в виде параболы, которая симметрична вокруг оси y и открывается вверх.

5. Ключевые свойства графика y = x^2

• Домейн: все вещественные числа.
• Разделение на участки возрастания/убывания:
  • Убывание на (-∞, 0], поскольку при переходе от отрицательных x к нулю y уменьшается.
  • Возрастание на [0, +∞). (Для ясности можно вспомнить производную: dy/dx = 2x; она отрицательна при x < 0 и положительна при x > 0.)
• Ось симметрии: x = 0.
• Вершина: (0, 0).
• Интерцепты: единственный пересечение с осью x и с осью y — в начале координат (0, 0).
• Диапазон: y ≥ 0.

6. Как использовать знание на экзамене

• Определить вершинy и ось симметрии по виду y = a(x − h)^2 + k: вершина (h, k), ось симметрии x = h.
• Проверить знак коэффициента a: a > 0 — график открывается вверх; a < 0 — вниз.
• Найти интерцепты: подставить x = 0 для y‑пересечения; подставить y = 0 для x‑пересечений.
• При желании оценить ширину графика: чем больше |a|, тем “уже” (узже) парабола; при 0 < |a| < 1 — график шире.

Если нужно, могу привести аналогичную разборку для y = ax^2 или для перетаскивания параболы через сдвиги (y = a(x − h)^2 + k) с примерами и заданиями.