Промокнуть под дождём это примыкание управления или согласование.

Коротко: это примыкание (то есть связь между сказуемым и обстоятельством через примыкание).

Разбор по шагам

• Главное слово: промокнуть (инфинитив, сказуемое).
• Зависимое словосочетание: под дождём — предлог + существительное в творительном падеже, образующее обстоятельство (уточняет условие, где происходит действие).
• Какая это связь? Обстоятельство обычно присоединяют к глаголу посредством примыкания. Нет согласования по роду/числу/падежу и нет требуемого управлением падежа, потому что глагол не требует конкретного падежа существительного в зависимости от него.
• Почему это не согласование? Здесь нет прилагательного или другого определения, которое должно согласовываться с существительным.
• Почему это не управление? Управление требует, чтобы глагол подчинялся падежу зависимого слова в строгом смысле подчинения; здесь зависимое словосочетание выражено через предлог и не формирует прямое дополнение к глаголу в нужном падеже для самого глагола.

Итог: промокнуть под дождём — это примыкание, образующее обстоятельство.