y=-6x²+8

Задача: y = -6x^2 + 8

Так как цель — понять, приведу подробное решение с пояснениями.

1. Характеристики квадратичной функции

• Это парабола вертикальная, ветвь вниз, потому что коэффициент при x^2 отрицательный: a = -6, b = 0, c = 8.
• Облако определения: все вещественные числа (домена нет ограничений).
• Ось симметрии параболы: x = -b/(2a) = -0/(2·(-6)) = 0.
• Вершина параболы имеет координаты (h, k) = (0, f(0)) = (0, 8).

2. Вершинная форма

• Исходная форма: y = a(x - h)^2 + k.
• Подстановка: h = 0, k = 8, a = -6.
• Значит, y = -6(x - 0)^2 + 8 = -6x^2 + 8.
• Вершина (0, 8) и ось симметрии x = 0 подтверждаются.

3. Направление и максимум/минимум

• Так как a < 0, парабола открывается вниз.
• Максимум функции достигается в вершине: y_max = 8 при x = 0.
• Значит, диапазон значений y: y ≤ 8.

4. Пересечения с осями координат

• y-пересечение (при x = 0): y = 8, то есть точка (0, 8).
• x-пересечения (пауза на y = 0): решаем -6x^2 + 8 = 0. -6x^2 = -8 → x^2 = 8/6 = 4/3 → x = ±√(4/3) = ±(2/√3) = ±(2√3)/3. Таким образом, точки пересечения с осью x: x = -(2√3)/3 и x = (2√3)/3.

5. Дополнительные простые проверки

• Значения на нескольких точках: при x = 0 → y = 8; при x = ±1 → y = -6(1) + 8 = 2; при x = ±2 → y = -6(4) + 8 = -16. Это иллюстрирует «норов» параболы: поднимается до вершины и быстро опускается вниз.

6. Графическое описание (кратко)

• Парабола узкая (из-за большого по абсолютной величине a = -6), вершина в (0, 8), открывается вниз, ось симметрии x = 0. Пересечения с осями: y (0,8) и x-координаты ±(2√3)/3.

7. Итоговые формулы

• Функция в стандартном виде: y = -6x^2 + 8.
• Вершинная форма: y = -6(x - 0)^2 + 8.
• Ось симметрии: x = 0.
• Вершина: (0, 8).
• X-пересечения: x = ±(2√3)/3.
• Y-пересечение: (0, 8).
• Диапазон значений: y ≤ 8.

Если хочешь, могу также привести быстрый черновик графика или разобрать производные и интервалами возрастания/убывания более подробно.