дан параллелограм ABCD.На продолжении дианонали AC за вершиныA и C отмечены точки M и N соответсвтенно так ,что AM=CN. Докажите,что MBND -параллелограмм
Дано параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки M и N соответственно так, что AM = CN. Требуется доказать, что MBND – параллелограмм.
Способ 1: синтетический (через центр параллелограмма)
Обозначим O — пересечение диагоналей ABCD (центр параллелограмма). В любом параллелограмме диагонали AC и BD пересекаются в одной точке O и делят друг друга пополам, то есть AO = OC и BO = OD.
Рассмотрим отрезок MN, где M лежит на продолжении AC за A, а N — на продолжении AC за C, и AM = CN. Пусть AM = CN = t.
Пусть AC — прямая; на ней можно выбрать систему координат так, чтобы O была нулём. Тогда A и C симметрично расположены относительно O: A на расстоянии p от O в одну сторону, C на расстоянии p в другую сторону.
В таком же виде расстояния вдоль той же прямой дают:
- M находится на продолжении за A на расстояние t, то есть координата M будет −p − t;
- N находится на продолжении за C на расстояние t, то есть координата N будет p + t.
Следовательно, O — середина MN, так как (−p − t + p + t)/2 = 0.
Но O — середина BD тоже (центр параллелограмма). Значит MN и BD пересекаются в их серединах.
В квадрате MBND диагонали MN и BD пересекаются в их серединах, значит MBND — параллелограмм (диагонали, биссектирующие друг друга, образуют параллелограмм).
Итог: MB ∥ ND и BN ∥ MD, поэтому MBND — параллелограмм.
Способ 2: координатный (для проверки)
Пусть A = 0, B = b, D = d, тогда C = B + D = b + d.
Пусть M = −t(b + d) (на продолжении AC за A), N = (1 + t)(b + d) (на продолжении AC за C), где t > 0 и AM = CN = t|b + d|.
Тогда:
MB = B − M = b + t(b + d) = (1 + t)b + t d,
ND = D − N = d − (1 + t)(b + d) = −(1 + t)b − t d, следовательно MB = −ND, значит MB ∥ ND и |MB| = |ND|.
BN = N − B = (1 + t)(b + d) − b = t b + (1 + t)d,
MD = D − M = d − (−t(b + d)) = t b + (1 + t)d, следовательно BN = MD, значит BN ∥ MD и |BN| = |MD|.
Это доказывает, что противоположные стороны MB и ND параллельны и равны по длине, а BN и MD тоже параллельны и равны по длине. Следовательно MBND — параллелограмм.
Дополнительное замечание (интуитивно): середина MN совпадает с серединой AC, а середина BD совпадает с той же точкой O — центр параллелограмма. Поэтому диагонали MN и BD MBND пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам, что и является признаком параллелограмма.
Вывод: независимо от конкретного расположения параллелограмма ABCD и величины AM = CN, квадрилатер MBND образует параллелограмм.
