√(22−√(160))(10+1)

Задача: sqrt(22 − sqrt(160)) * (10 + 1)

Пошаговое решение:

1. Упростим sqrt(160): sqrt(160) = sqrt(16 · 10) = 4 sqrt(10)

   Таким образом выражение становится: sqrt(22 − 4 sqrt(10)) · 11

2. Примем sqrt(22 − 4 sqrt(10)) как разность корней: sqrt(a) − sqrt(b). Тогда (sqrt(a) − sqrt(b))^2 = a + b − 2 sqrt(ab) = 22 − 4 sqrt(10)

   Это даёт систему:

   • a + b = 22
   • 2 sqrt(ab) = 4 sqrt(10) ⇒ sqrt(ab) = 2 sqrt(10) ⇒ ab = 40

3. Разрешим систему a + b = 22 и ab = 40. Корни квадратного уравнения t^2 − 22 t + 40 = 0 дадут a и b: t = [22 ± sqrt(484 − 160)] / 2 = [22 ± sqrt(324)] / 2 = [22 ± 18] / 2 Получаем a = 20 и b = 2.

4. Следовательно, sqrt(22 − 4 sqrt(10)) = sqrt(20) − sqrt(2) = 2 sqrt(5) − sqrt(2)

   Проверяем: (2 sqrt(5) − sqrt(2))^2 = 20 + 2 − 2 sqrt(40) = 22 − 4 sqrt(10), верно.

5. Теперь умножим на (10 + 1) = 11: 11 · (2 sqrt(5) − sqrt(2)) = 22 sqrt(5) − 11 sqrt(2)

Ответ: 22 sqrt(5) − 11 sqrt(2) (приблизительно 33.638).