√(22−√160)(√10+1)

Задача: √(22 − √160) · (√10 + 1)

Пояснение по шагам для понятия:

1. Упростим внутренний корень:

• √160 = √(16·10) = 4√10.
• Значит выражение становится: √(22 − 4√10) · (√10 + 1).

2. Рапортируем корень вида √(22 − 4√10) через разложение под квадрат разности: Предположим, что √(22 − 4√10) можно записать как √m − √n. Тогда: (√m − √n)² = m + n − 2√(mn) = 22 − 4√10. Отсюда системы:

• m + n = 22
• mn = 40 Решение приводит к m = 20 и n = 2. Значит: √(22 − 4√10) = √20 − √2 = 2√5 − √2.

3. Подставим и умножим: (2√5 − √2)(√10 + 1) = (2√5)(√10) + (2√5) − (√2)(√10) − (√2) = 2√50 + 2√5 − √20 − √2.

Упростим корни:

• √50 = √(25·2) = 5√2, значит 2√50 = 10√2.
• √20 = √(4·5) = 2√5.

Тогда выражение превращается в: 10√2 + 2√5 − 2√5 − √2 = (10√2 − √2) + (2√5 − 2√5) = 9√2.

4. Ответ: 9√2.

Проверка на числах (быстрое вычисление):

• √10 ≈ 3.1623, √160 ≈ 12.649, √(22 − √160) ≈ √9.351 ≈ 3.057.
• (√10 + 1) ≈ 4.1623.
• Произведение ≈ 3.057 · 4.1623 ≈ 12.728, а 9√2 ≈ 9·1.414 ≈ 12.727, совпадает.

Итого: ответ равен 9√2.