Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Проведите плоскость АDО, где О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что С1В1 лежит в этой же плоскости.

Замечание по постановке: прямоугольный параллелепипед имеет нижнюю основу ABCD и верхнюю A1B1C1D1, вершины A–A1, B–B1, C–C1, D–D1 — вертикальные ребра. Точка O — центр параллелепипеда, точка пересечения его пространственных диагоналей (например, диагоналей A–C1 и A1–C). Цель: доказать, что точка C1B1 лежит в той же плоскости, что и A, D и O, то есть прямая C1B1 также лежит в плоскости ADO. Рассмотрим координатный подход (удобно задать оси параллелепипеда так, чтобы цветавая плоскость была проста): - Пусть A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a, b, 0), D = (0, b, 0). - Верxины верхнего параллелепипеда: A1 = (0, 0, h), B1 = (a, 0, h), C1 = (a, b, h), D1 = (0, b, h). - Центр параллелепипеда O — середина пространства диагоналей, т.е. O = (a/2, b/2, h/2). Плоскость ADO задаётся через точки A(0,0,0), D(0,b,0) и O(a/2, b/2, h/2). - Вектора на плоскости: AD = D − A = (0, b, 0) и AO = O − A = (a/2, b/2, h/2). - Нормаль к плоскости найдём как пересечение этих двух направляющих векторов: n = AD × AO. AD × AO = (0, b, 0) × (a/2, b/2, h/2) = ( (b)(h/2), 0, −(a)(b/2) ) = ( bh/2, 0, −ab/2 ). - Уравнение плоскости: n · (x, y, z) = 0 (так как A = (0,0,0) лежит на плоскости). Подставляя n, получаем (bh/2)x + 0·y + (−ab/2)z = 0. После упрощения (при b ≠ 0): h x − a z = 0, то есть z = (h/a) x. Проверим, лежат ли точки B1 и C1 на этой плоскости: - B1 = (a, 0, h): z = h и (h/a) x = (h/a)·a = h, то равенство выполняется. - C1 = (a, b, h): z = h и (h/a) x = (h/a)·a = h, тоже выполняется. Следовательно, обе точки B1 и C1 принадлежат плоскости ADO, значит прямая C1B1 лежит в этой же плоскости. Итог: в прямоугольном параллелепипеде плоскость ADO (через A, D и центр O) содержит и топовую боковую сторону C1B1, т.е. C1B1 лежит в плоскости ADO.