37^4

Задача: 37^4.

Ответ: 1 874 161.

Пошаговое решение с объяснениями (для цели "Понять"):

Метод 1. через квадрат

1. Сначала найдем 37^2: 37^2 = 1369.

2. Затем 37^4 можно записать как (37^2)^2: 37^4 = 1369^2.

3. Вычислим 1369^2. Один из способов: разложить 1369 на близкие к круглым числа и перемножить: 1369^2 = 1369 × 1369 = 1369 × (1300 + 60 + 9) = 1369×1300 + 1369×60 + 1369×9 = 1 779 700 + 82 140 + 12 321 = 1 874 161.

Метод 2. по формуле (40 − 3)^4 (биномиальная разложение)

1. Применяем формулу разв отсупления: (40 − 3)^4 = 40^4 − 4·40^3·3 + 6·40^2·3^2 − 4·40·3^3 + 3^4.

2. Вычислим по компонентам:

   • 40^4 = 2 560 000
   • 4·40^3·3 = 4·64 000·3 = 768 000
   • 6·40^2·9 = 6·1600·9 = 86 400
   • 4·40·27 = 4 320
   • 3^4 = 81

3. Собираем: 2 560 000 − 768 000 + 86 400 − 4 320 + 81 = 1 874 161.

Проверка (мотивирующая): можно вычислить 37^3 = 50 653, затем умножить на 37: 50 653 × 37 = 1 874 161. Значит ответ верен.

Итог: 37^4 = 1 874 161.