Найди BN пожалуйста

Задача: в остроугольном треугольнике ABC со сторонами AB = 4, AC = 3 на медиане AM отмечена точка N так, что ∠BNM = ∠MAC. Найти BN. Решение (координатный способ): 1) Установим систему координат: - A = (0, 0) - B = (4, 0) - C = (3c, 3s), где c^2 + s^2 = 1 (c = cos ∠CAB, s = sin ∠CAB) 2) Медиана AM: M — середина BC. - B = (4, 0), C = (3c, 3s) - M = ((4 + 3c)/2, (3s)/2) 3) Точка N лежит на AM и N = tM (0 < t < 1). 4) Найдем углы через косинусы. - Угол MAC — угол между векторами AM и AC. AM = M, AC = C. Тогда cos ∠MAC = (M · C) / (|M| |C|). Вычисляя, получаем cos ∠MAC = (3 + 4c) / √(25 + 24c). - Угол BNM — угол между NB и NM. NB = B − N = B − tM, NM = M − N = (1 − t)M. Так как NM параллелен M, имеем cos ∠BNM = (NB · NM) / (|NB| |NM|) = ( (B − tM) · M ) / (|B − tM| |M|) = (B · M − t M · M) / (|B − tM| |M|). 5) Приравниваем косинусы: (B · M − t M · M) / (|B − tM| |M|) = (3 + 4c) / √(25 + 24c). Заметим, что |M| = √(25 + 24c) / 2, поэтому после упрощений получаем эквивалентное условие (B · M − t M · M) / |B − tM| = (3 + 4c) / 2. Вводим следующие обозначения: - A = 8 + 6c = B · M - Bc = 25 + 24c = (|M|^2) · 4 - K = 3 + 4c = косинусная часть в числителе. После алгебры (разложение квадратов и использование того, что K^2 − Bc = −16s^2, Bc − K^2 = 16s^2) сводится к квадратному уравнению относительно t: Bc t^2 − 8A t + 28 = 0, то есть (25 + 24c) t^2 − 8(8 + 6c) t + 28 = 0. 6) Вычислим BN. По определению BN^2: BN^2 = |B − tM|^2 = 16 − 2t(A) + t^2(Bc/4). Умножим на 4: 4 BN^2 = 64 − 8At + t^2 Bc. Из полученного квадратного уравнения видно, что t^2 Bc = 8A t − 28. Подставим это в выражение выше: 4 BN^2 = 64 − 8A t + (8A t − 28) = 36. Отсюда BN^2 = 9, следовательно BN = 3. Ответ: BN = 3.