В прямоугольном треугольнике ABC ( ∠C = 90 ∘ ) медиана AD пересекает биссектрису BK в точке O, при этом BO : OK = 4 : 3. Найти отношение катетов.

Решение по координатам (приближённо универсальный подход для средней школы):

Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°. Mедиана AD: D — середина BC. Биссектор BK угла B пересекает BK в точке O так, что BO:OK = 4:3. Нужно найти отношение катетов AC:BC.

1. Установим координаты

• Пусть C = (0,0). Пусть AC лежит по оси x и задана A = (a, 0) (AC = a).
• Пусть BC лежит по оси y и задана B = (0, b) (BC = b).
• Тогда AB = c = sqrt(a^2 + b^2).

2. Медиана AD

• D — середина BC: D = (0, b/2).
• Прямая AD идёт через A и D.

3. Биссектор BK

• Точка K лежит на AC, поэтому K = (x_K, 0).
• По теореме о биссектрисе в треугольнике ABC относительно угла B: AK:KC = AB:BC = c:b.
• Пусть CK = x_K (от C до K). Тогда AK = a − x_K. Соотношение (a − x_K) : x_K = c : b → (a − x_K)/x_K = c/b.
• Решая, получаем x_K = ab/(b + c). Значит K = (ab/(b+c), 0).

4. Точка O на BK

• Так как BO:OK = 4:3, точку O на отрезке BK можно найти член-деление отрезка в отношении 4:3: O = ( (3B + 4K) / 7 ).
• Тогда B = (0, b), K = (ab/(b+c), 0) дают x_O = 4x_K/7 = 4/(7) * ab/(b+c), y_O = 3b/7.

5. Условие принадлежности O AD

• Любая точка на AD имеет вид (x, y) = (a(1 − t), (b/2)t) при t ∈ [0,1].
• Границы удовлетворения: для найденной O должны существовать t such that x_O = a(1 − t), y_O = (b/2)t.
• Из первого: t = 1 − x_O/a. Подставим во второе: y_O = (b/2)(1 − x_O/a) = (b/2) − (b x_O)/(2a).
• Учитывая y_O = 3b/7, получаем: 3b/7 = (b/2) − (b x_O)/(2a). Делим на b: 3/7 = 1/2 − x_O/(2a). Умножим на 2: 6/7 = 1 − x_O/a → x_O/a = 1/7 → x_O = a/7.

6. Поразрядим x_O

• Но x_O = 4x_K/7, значит 4x_K/7 = a/7 → x_K = a/4.
• А x_K = ab/(b+c). Значит ab/(b+c) = a/4 → при a>0 сокращаем: b/(b+c) = 1/4.
• Отсюда 4b = b + c → c = 3b.

7. Найдём отношение катетов

• Так как c^2 = a^2 + b^2 и c = 3b, имеем: (3b)^2 = a^2 + b^2 → 9b^2 = a^2 + b^2 → a^2 = 8b^2.
• Следовательно a = √8 · b = 2√2 · b.

Ответ: AC:BC = a:b = 2√2 : 1. Эквивалентно BC:AC = 1 : 2√2.