В однородном магнитном толе с индукцией В, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик…
В однородном магнитном толе с индукцией В, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик массой т, подвешенный на нити длиной П конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен аскорость движения шарика равна и. Найдите заряд шарика q.
Ниже пошаговое решение задачи.
Задача: в однородном магнитном поле B (направлено вертикально вниз) равномерно вращается конусный маятник: положительно заряженный шарик массы m подвешан на нити длины l. Шарик движется по горизонтальной окружности радиуса r = l sin α, угол отклонения нити от вертикали равен α, скорость шарика по окружности равна v. Найдите заряд q шарика.
- Физическая модель и силы
- Масса шара m, сила тяжести Fg = m g, направлена вниз.
- Нить длины l образует угол α с вертикалью; сила натяжения T направлена по оси нити toward pivot.
- Магнитная сила: шарик движется в поле B, направленном вниз. Поскольку движение в горизонтальной плоскости, скорость v направлена по окружности, перпендикулярна оси поля. Магнитная сила равна Fм = q (v × B). Направление Fм toward центр окружности (к оси вращения). По размеру Fм = q B v.
- Разбиение сил на вертикальную и горизонтальную части
Вертикальное равновесие (ускрения по вертикали нет): T cos α = m g.
Горизонтальное направление (в оси, направленной к центру окружности, т.е. по радиусу к оси): сумма горизонтальных сил должна обеспечивать центростремительное ускорение m v^2 / r. Горизонтальная составляющая натяжения: T sin α toward center. Магнитная сила тоже toward center, имеет модуль q B v. Поэтому: T sin α + q B v = m v^2 / r, где r = l sin α.
- Подстановка и решение
Из вертикального равенства: T = m g / cos α.
Подставим в горизонтальное: (m g / cos α) sin α + q B v = m v^2 / (l sin α).
Это эквivalентно: m g tan α + q B v = m v^2 / (l sin α).
Выразим q: q B v = m v^2 / (l sin α) − m g tan α q = [ m v^2 / (l sin α) − m g tan α ] / (B v) q = (m / (B v)) [ v^2 / (l sin α) − g tan α ].
- Ответ q = (m / (B v)) [ v^2 / (l sin α) − g tan α ].
Пояснения и заметки
- Направление силы q v × B учитывается: для данного направления вращения и направления B заряд q оказывается положительным, если выражение в скобках положительно, иначе заряд q окажется отрицательным.
- Формула даёт заряд в кулонах при заданных m, l, α, v, B и g.
- Если B близко к нулю, задача не имеет смысла в рамках данной формулы (магнитная сила исчезает), но в рамках физической модели с B ≠ 0 выражение корректно.
- В случае изменения направления вращения или направления B знак q поменялся бы согласно знаку v × B.
