В однородном магнитном толе с индукцией В, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик…
В однородном магнитном толе с индукцией В, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик массой т, подвешенный на нити длиной П конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен аскорость движения шарика равна и. Найдите заряд шарика q.
Задача: однородное магнитное поле B направлено вертикально вниз. Положительно заряженный шарик массы m подвешен на нити длиной l и образует конусный маятник с углом отклонения нити от вертикали α. Шарик движется по горизонтальной окружности со скоростью v в направлении против часовой стрелки. Найти заряд q шара.
Решение по шагам
- Геометрия и силы
Радиус траектории движения шарика: r = l sin α.
Вектор скорости v направлен по окружности в горизонтальной плоскости; вектор магнитной индукции B направлен вниз (по -z).
Сила Лоренца на шарик: F_M = q (v × B). Так как v направлена горизонтально, a B = вниз, направление F_M горизонтально toward the center. Модуль F_M = q v B.
Направления сил: центростремительная сила берётся из горизонтальных компонентов натяжения нити и магнитной силы. Вертикальное равновесие обеспечивает компонент натяжения вдоль вертикали.
- Вертикальное равновесие
- Компонента натяжения вдоль вертикали: T cos α.
- Вес: m g вниз.
- Баланс: T cos α = m g → T = m g / cos α.
- Горизонтальное равновесие ( centripetal )
Центростремительное ускорение: a_c = v^2 / r, направлено к центру окружности.
Горизонтальная компонент натяжения от версии маятника: T sin α (направлена toward center).
Магнитная сила: F_M = q v B (направлена toward center).
Сумма горизонтальных сил равна m v^2 / r: T sin α + q v B = m v^2 / r.
Подставим r = l sin α и T = m g / cos α: (m g / cos α) sin α + q v B = m v^2 / (l sin α).
Упростим: m g tan α + q v B = m v^2 / (l sin α).
- Нахождение q
Выразим q: q v B = m v^2 / (l sin α) - m g tan α q = [ m v^2 / (l sin α) - m g tan α ] / (v B).
Можно привести ко второй форме: q = (m / (v B)) [ v^2 / (l sin α) - g tan α ] или q = (m / B) [ v / (l sin α) - (g tan α) / v ].
- Примечания
- Поскольку шарик положительно заряжен, q будет положительным только если выполняется условие v^2 / (l sin α) > g tan α.
- Если какие-либо параметры не заданы (например, α или v), выражение остается в общем виде и позволяет подставить данные при наличии.
Итого, заряд шарика: q = [ m v^2 / (l sin α) - m g tan α ] / (v B) или эквивалентно q = (m / (v B)) [ v^2 / (l sin α) - g tan α ].
