Ребро AD тетраэдра ABCD перпендикулярно плоскости ABC. Найдите двугранный угол DBAC.

Задача: Ребро AD тетраэдра ABCD перпендикулярно плоскости ABC. Найдите двугранный угол DBAC.

Разбор и решение

• Что требуется найти: двугранный угол между двумя плоскостями, которые пересекаются по линии AB: плоскостью ABD и плоскостью ABC. Этот угол обозначают как угол между плоскостями ABD и ABC (по линии пересечения AB).

• Важное свойство: AD ⟂ плоскости ABC. Это значит, что AD перпендикулярна любой линии, проходящей через точку A в плоскости ABC, в частности ей перпендикулярна AB.

• Геометрическая аргументация (кратко):

  • Пусть l — линия в плоскости ABC, проходящая через A и перпендикулярная AB. Тогда AD ⟂ плоскость ABC, следовательно AD ⟂ l.
  • Двугранный угол между плоскостями ABD и ABC по линии AB равен углу между линями, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными AB (одна такая линия в плоскости ABD — AD, другая — l в плоскости ABC).
  • Так как AD ⟂ l, этот угол равен 90°.

• Координатное доказательство (наглядно):

  • Пусть плоскость ABC — плоскость z = 0. Положим A = (0,0,0), B = (b,0,0) с b > 0, C = (c_x, c_y, 0). Так как AD ⟂ плоскости ABC, отложим D = (0,0,d) с d ≠ 0.
  • Плоскость ABD содержит A, B и D, поэтому её нормаль n1 = AB × AD = (b,0,0) × (0,0,d) = (0, -bd, 0). Следовательно, ABD — это плоскость y = 0.
  • Плоскость ABC — это плоскость z = 0.
  • Нормаль к ABC — n2 = AB × AC, она перпендикулярна плоскости ABC. Нормаль к ABD направлена по оси y, давая перпендикуляр к плоскости ABD.
  • Углы между нормалями n1 и n2: их скалярное произведение равно 0 (одна нормаль лежит в плоскости ABC, другая перпендикулярна ей); значит угол между плоскостями ABD и ABC равен 90°.

Вывод Двугранный угол DBAC равен 90 градусам. Это не зависит от положения точек B и C в плоскости ABC; достаточно условия AD ⟂ плоскости ABC.