Промежутки знакопостоянства

Коротко: промежутки знакопостоянства (ПЗС) — это максимально длинные открытые промежутки из области определения функции, на которых знак функции фиксирован (всегда положительный или всегда отрицательный). Как определить ПЗС - Шаг 1. Найдите область определения и все точки, где функция либо равна нулю, либо недифференцируема/неопределена (переход через ноль, нули знаменателя, точки разрыва и т.д.). - Шаг 2. Разделите вещественную ось на интервалы, образованные этими точками: между соседними критическими точками и на бесконечности. - Шаг 3. В каждом таком открытом интервале возьмите тестовую точку и подставьте в f(x) для определения знака. - Шаг 4. Промежутки, на которых f(x) > 0 — положительные ПЗС, где f(x) < 0 — отрицательные ПЗС. Эти интервалы должны быть максимальными по включению, т.е. между двумя соседними точками не должно быть продолжения с тем же знаком. - Примечание: для алгебраических функций (многочлены, дробно-рациональные) знак может менятьc только в точках нулей числителя или знаменателя, а также на точках разрыва. Если ноль кратности четной, знак может не менятьc при прохождении через него. Некоторые примеры 1) f(x) = x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) Область определения: R. Локальные точки: x = 2, 3. Интервалы: (-∞, 2), (2, 3), (3, ∞). Знаки: на (-∞, 2) f > 0; на (2, 3) f < 0; на (3, ∞) f > 0. ПЗС: (-∞, 2), (2, 3), (3, ∞). 2) f(x) = (x − 3)/(x + 2) Область: x ≠ -2. Точки: x = -2 (разрыв), x = 3 (ноль). Интервалы: (-∞, -2), (-2, 3), (3, ∞). Знаки: на (-∞, -2) f > 0; на (-2, 3) f < 0; на (3, ∞) f > 0. ПЗС: (-∞, -2), (-2, 3), (3, ∞). 3) f(x) = |x| Область: R. Точки: x = 0 (нулевой пункт). Интервалы: (-∞, 0), (0, ∞). Знаки: f > 0 на обоих интервалах. ПЗС: (-∞, 0) и (0, ∞) (оба положительные; в точке 0 значение 0). Полезные примечания - Для рациональных функций знак определяется произведением знаков множителей; знаки меняются на нулях числителя и на нулях знаменателя (разрывах). - Множество ПЗС может состоять из нескольких соседних интервалов, особенно если в данных точках есть разрыв (полюс, отверстие) — знак может сохраняться слева и справа от разрыва, но сами интервалы в рамках домена разделены. - При решении неравенств чаще всего строят карту знаков (sign chart) по ПЗС. Если пришлете конкретную функцию, могу по шагам построить ПЗС и выписать их.