Преобразуйте выражение к несократимой дроби: \frac{2x}{x-2} + \frac{x+7}{8-4x} \cdot \frac{32}{x^2+7x}

Цель: понять и подробно разобрать.

Задача: преобразовать выражение к несократимой дроби E = 2x/(x-2) + [(x+7)/(8-4x)] · [32/(x^2+7x)]

1. Упростим множители во втором слагаемом

• 8 - 4x = -4(x - 2), поэтому (x+7)/(8-4x) = -(x+7)/(4(x-2)).
• x^2 + 7x = x(x+7), поэтому 32/(x^2+7x) = 32/[x(x+7)].

Тогда второй член: [(x+7)/(8-4x)] · [32/(x^2+7x)] = [-(x+7)/(4(x-2))] · [32/(x(x+7))] = -32(x+7) / [4(x-2) x (x+7)] = -8 / [x(x-2)] (после сокращения на (x+7)).

2. Приведём к общему знаменателю E = 2x/(x-2) - 8/[x(x-2)] Общий знаменатель: x(x-2).

E = [2x^2 - 8] / [x(x-2)] = 2(x^2 - 4) / [x(x-2)] = 2(x-2)(x+2) / [x(x-2)].

3. Упростим, сократив общий множитель (x-2) (при условии x ≠ 2) E = 2(x+2)/x.

4. Область определения (что нельзя допускать в исходном выражении)

• x ≠ 2 (из-за знаменателей x-2 и 8-4x)
• x ≠ 0 и x ≠ -7 (из x^2+7x = x(x+7))

Итак, конечное несократимое выражение: 2(x+2)/x, при условии x ∉ { -7, 0, 2 }.

Ответ: 2(x+2)/x (с ограничениями x ≠ -7, 0, 2).