РазRoots уравнения 4 корня: пусть они равны последовательным степеням двойки
2^n, 2^{n+1}, 2^{n+2}, 2^{n+3}.
Пусть первый квадратный многочлен имеет корни r,s, третий и четвертый — t,u. По Витоте:
- r+s = a, rs = b;
- t+u = a+24, tu = b.
Чтобы из двух пар получить одно и то же произведение (b), нужно разложить числа так, чтобы произведения пар совпали. Из трёх способов разбиения на пары только одно даёт одинаковое произведение:
(2^n, 2^{n+3}) и (2^{n+1}, 2^{n+2}).
Тогда b = 2^n · 2^{n+3} = 2^{2n+3}.
Суми пар:
- S1 = 2^n + 2^{n+3} = 2^n(1+8) = 9·2^n;
- S2 = 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^{n+1}(1+2) = 3·2^{n+1} = 6·2^n.
Разница должна быть 24: |S1 − S2| = 24. Но S1 − S2 = 3·2^n, значит
3·2^n = 24 ⇒ 2^n = 8 ⇒ n = 3.
Следовательно, a = меньшая сумма = S2 = 48, b = 2^{2n+3} = 2^9 = 512.
Проверка: x^2 − 48x + 512 имеет корни 16 и 32, а x^2 − 72x + 512 имеет корни 8 и 64; вместе дают корни 8, 16, 32, 64 — действительно последовательные степени двойки.
Произведение ab: a b = 48 · 512 = 24576 = 2^{13} · 3. Следовательно наибольшая степень двойки, делящая ab, равна 2^{13} (то есть показатель степени равен 13).
