Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 42°. Найдите больший острый угол этого треугольника. Ответ дайте в…

Задача: в правильном треугольнике из вершины прямого угла провести биссектрису угла и медиану к гипотенузе. Угол между ними равен 42°. Найдите больший острый угол треугольника.

Обозначим треугольник ABC с прямым углом в C. CA и CB — катеты, AB — гипотенуза. Из вершины C нужно провести медиану CM к гипотенузе AB и биссектрису угла C.

Пояснения:

• Векторный подход к углу при C: биссектриса угла C образует угол 45° с каждым катетом, значит биссектриса идёт по линии, образующей с CA угол 45°.
• Медиана CM до гипотенузы в таком треугольнике направлена к середине AB, поэтому угол между CA и CM равен arctan(b/a), где a = CA, b = CB. Этот угол совпадает с углом ∠A треугольника, так как tan ∠A = противолежащий катет/прилежащий катет = BC/CA = b/a.
• Угол между биссектрисой и медианой равен |∠A − 45°|. По условию он равен 42°. Значит: |∠A − 45°| = 42°. Отсюда ∠A = 45° ± 42° ⇒ ∠A = 87° или ∠A = 3°.

Вправду ли это даёт больший острый угол?

• Острые углы треугольника равны ∠A и ∠B, где ∠B = 90° − ∠A.
• Если ∠A = 3°, то ∠B = 87°. Если ∠A = 87°, то ∠B = 3°. В обоих случаях больший острый угол равен 87°.

Ответ: 87°.