Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если M(-5;1), N (-4;4), P(-1;5), Q (-2;2)
Чтобы доказать, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, нужно проверить два условия:
- Противоположные стороны параллельны.
- Противоположные стороны равны по длине.
Давайте проверим первое условие. Для этого построим векторы MN и PQ. MN = (x2 - x1, y2 - y1) = (-4 - (-5), 4 - 1) = (1, 3). PQ = (x4 - x3, y4 - y3) = (-2 - (-1), 2 - 5) = (-1, -3).
Если векторы MN и PQ параллельны, то они должны иметь одинаковый коэффициент пропорциональности между х и у составляющими. Для этого можно проверить, равны ли их отношения:
(1/(-1)) = (-3/3) => -1 = -1
Отношения равны, поэтому стороны MN и PQ параллельны.
Теперь проверим второе условие - равенство сторон. Найдём длины сторон MN и PQ:
Длина стороны MN = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √(((-4) - (-5))^2 + (4 - 1)^2) = √(1 + 9) = √10 Длина стороны PQ = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2) = √((-2 - (-1))^2 + (2 - 5)^2) = √(1 + 9) = √10
Длины сторон MN и PQ равны.
Таким образом, все условия выполняются, и четырёхугольник MNPQ является параллелограммом.
Теперь найдём длины диагоналей. Диагонали параллелограмма равны по длине и их точка пересечения является его центром.
Диагональ AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √(((-4) - (-5))^2 + (4 - 1)^2) = √(1 + 9) = √10 Диагональ BD = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2) = √((-2 - (-1))^2 + (2 - 5)^2) = √(1 + 9) = √10
Таким образом, диагонали AC и BD равны и их длина равна √10.
