Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Две прямые, делящие углы между диагоналями АС и BD пополам, пересекают: одна — стороны АВ и CD в точках М и К, вторая — стороны ВС и DA в точках N и L. Найдите отношение MN: KL, если известно, что ОА :ОВ: OC : OD=2:3:2:6

Ответ: MN:KL = 2:1. Пояснение по шагам 1) Приведём систему координат - Пусть O — начало координат. - Диагональ AC лежит вдоль оси x. Так как OA = OC = 2, а O—центр, то A = (-2, 0), C = (2, 0). - Диагональ BD пересекает O и задаётся направляющим вектором u = (cosφ, sinφ). Так OB = 3, OD = 6, поэтому B = (3cosφ, 3sinφ), D = (-6cosφ, -6sinφ). 2) Линии, делящие углы между диагоналями - Линия-биссектор внутреннего угла между AC (направление e_x) и BD (направление u) имеет направление w1 = e_x + u = (1 + cosφ, sinφ). - Внешняя биссектора имеет направление w2 = e_x − u = (1 − cosφ, −sinφ). Т.е. две требуемые прямые через O: L1 вдоль w1, L2 вдоль w2. 3) Точки пересечения - AB: A + α(B − A), α ∈ R. CD: C + β(D − C), β ∈ R. BC: B + γ(C − B), γ ∈ R. DA: D + δ(A − D), δ ∈ R. - Первая прямая L1 пересекает AB в M и CD в K. Solve AB ∩ L1: - M получаем как M = t1 w1 и α = −2, t1 = −6, поэтому M = (−6 − 6cosφ, −6 sinφ). Пересечение CD ∩ L1: - K = t1 w1 с t1 = 3, поэтому K = (3 + 3cosφ, 3 sinφ). - Вторая прямая L2 пересекает BC в N и DA в L. Solve BC ∩ L2: - N = t2 w2 с t2 = 6, поэтому N = (6 − 6cosφ, −6 sinφ). Пересечение DA ∩ L2: - L = t2 w2 с t2 = −3, поэтому L = (−3 + 3cosφ, 3 sinφ). 4) Длины MN и KL - MN = расстояние между M и N. Разности координат: N − M = ((6 − 6c) − (−6 − 6c), (−6s) − (−6s)) = (12, 0). Значит MN = 12. - KL = расстояние между K и L. Разности координат: L − K = ((−3 + 3c) − (3 + 3c), (3s) − (3s)) = (−6, 0). Значит KL = 6. 5) Соотношение MN:KL = 12:6 = 2:1. Замечание Значение не зависит от положения угла между диагоналями (φ); оно определяется только заданными отношениями OA:OB:OC:OD = 2:3:2:6.