Прямоугольник, длины обеих сторон которогс принимают целочисленные значения, не меньшие З, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…

Дано прямоугольник размером m × n клеток (m, n — целые). Для каждой клетки считаем количество соседей по сторонам. Сумма всех этих чисел равна 186.

Шаг 1. Связь суммы соседей с размером прямоугольника

• Между любыми соседними клетками образуется одна пара соседей. Всего таких пар горизонтальных + вертикальных пар: P = m(n − 1) + n(m − 1) = 2mn − m − n.
• Каждый такой столбец пары соседей учитывается дважды (по одной для каждого конца), поэтому сумма всех соседей S равна 2P: S = 2(2mn − m − n) = 4mn − 2m − 2n.

Дано S = 186, значит: 4mn − 2m − 2n = 186. Разделим на 2: 2mn − m − n = 93.

Шаг 2. Приведём к факторизированной форме 2mn − m − n = 93 можно переписать через (2m − 1)(2n − 1): (2m − 1)(2n − 1) = 4mn − 2m − 2n + 1 = 2(2mn − m − n) + 1 = 2·93 + 1 = 187.

Шаг 3. Разложение 187 187 = 11 × 17 (и также 17 × 11). Возможны варианты:

• 2m − 1 = 11 и 2n − 1 = 17 → m = 6, n = 9
• 2m − 1 = 17 и 2n − 1 = 11 → m = 9, n = 6

Другие варианты:

• 2m − 1 = 1 и 2n − 1 = 187 → m = 1, n = 94
• 2m − 1 = 187 и 2n − 1 = 1 → m = 94, n = 1

Ограничение по задаче: стороны не меньше 3. Значения (1,94) и (94,1) исключаем. Остаются (6,9) и (9,6).

Шаг 4. Периметр Периметр Pprt прямоугольника равен 2(m + n).

• Для (m, n) = (6, 9): P = 2(6 + 9) = 30.
• Аналогично для (9, 6) получаем то же: P = 30.

Ответ: периметр прямоугольника равен 30 единиц.