Ответ: корень слова — плав
Пошагово поясню, как пришли к этому:
В слове можно увидеть две части: «дальне-» и «плавотель». Первая часть похожа на придаточное сочетание со значением «дальний/дальнее», вторая часть выглядит как производное существительное от основы «плав-».
Разберём часть «плавотель». Здесь корень — «плав» (с глагола «плавать»). Суффикс здесь близок к китайно-образующим формам вроде «-атель»/«-отель», которые образуют существительные, обозначающие лица или предметы, выполняющие действие. В данном случае основа «плав-» остаётся корнем, к ней добавляется суффикс «-отель».
Соединение с «дальне-» не меняет корня внутри слова; это добавочная часть, которая даёт значение «дальнеплавотель» как нечто вроде «тот, кто плавает на дальних расстояниях» (но это не стандартное словосочетание в обычном языке; здесь главное — определить корень).
Итого: корень — плав. Если нужно, могу разобрать и другие подобные примеры или показать, как различают корень всложных и заимствованных словах.