В буфете продаются только булочки по 19 рублей и пирожки по 24 рубля. Выручка буфета за день составила 1750 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых?…

Разбираем задачу по алгебре (8 класс).

1. Обозначения и уравнение

• Обозначим количество булочек за b, количество пирожков за p.
• Цена булочки = 19 руб, цена пирожка = 24 руб.
• Выручка за день: 19b + 24p = 1750.
• Требуется найти все целочисленные неотрицательные пары (b, p), а затем посмотреть, какие значения b + p возможны.

2. Решение по модулю

• Из уравнения 19b = 1750 − 24p следует рассмотреть по модулю 19: 1750 ≡ 2 (mod 19), 24 ≡ 5 (mod 19). Тогда 5p ≡ 2 (mod 19).
• Найдём обратное к 5 по модулю 19. 5 × 4 = 20 ≡ 1 (mod 19), следовательно обратное равно 4. Значит p ≡ 4 × 2 ≡ 8 (mod 19).
• Следовательно p = 8 + 19k, где k — неотрицательное целое число.

3. Подстановка и подсчёт возможных решений Подставляем p = 8 + 19k в уравнение и считаем b:

• b = (1750 − 24p) / 19.

Проверяем последовательные значения p до тех пор, пока b не станет отрицательным:

• p = 8: b = (1750 − 24×8)/19 = (1750 − 192)/19 = 1558/19 = 82. Всего предметов: b + p = 82 + 8 = 90.
• p = 27: b = (1750 − 24×27)/19 = (1750 − 648)/19 = 1102/19 = 58. Всего предметов: 58 + 27 = 85.
• p = 46: b = (1750 − 24×46)/19 = (1750 − 1104)/19 = 646/19 = 34. Всего предметов: 34 + 46 = 80.
• p = 65: b = (1750 − 24×65)/19 = (1750 − 1560)/19 = 190/19 = 10. Всего предметов: 10 + 65 = 75.
• p = 84: 24×84 = 2016 > 1750, значит b будет отрицательным, solutions закончили.

Итак, возможны следующие суммы булочек и пирожков: 90, 85, 80, 75.

4. Ответ на выбор варианта Из приведённых вариантов задачи подходят только 75, 80, 85 и 90.

Связанные примеры пар (для ясности):

• 75: 10 булочек и 65 пирожков
• 80: 34 булочки и 46 пирожков
• 85: 58 булочек и 27 пирожков
• 90: 82 булочки и 8 пирожков

Остальные числа в списке не являются допустимыми суммами продаж.