В своём саду Инна Николаевна создала цветник в виде прямоугольника. Внутри него она разместила 3 3 круглые клумбы с цветами, каждая из которых была расставлена на равном…
В своём саду Инна Николаевна создала цветник в виде прямоугольника. Внутри него она разместила 3 3 круглые клумбы с цветами, каждая из которых была расставлена на равном расстоянии друг от друга и от сторон цветника. В гостях у Инны Николаевны часто бывают её внуки, которые превращают сад в место весёлых игр. Во время последней игры ребята обнаружили одуванчик и подули на него так, что семечки одуванчика разлетелись по всему саду. Какова вероятность того, что одно из случайных семечек одуванчика, оказавшись в цветнике, прорастёт за пределами клумб с цветами? При решении считай, что π = 3 π=3. 5069_VER_9_13_510x510.svg
Дано: внутри прямоугольника размещены три одинаковые круглые клумбы радиуса r так, что расстояния между соседними клумбами и от клумб до сторон цветника одинаковы и равны s.
Цель: найти вероятность того, что случайно упавшее семечко окажется на территории цветника, но вне клумб (то есть в голой почве между клумбами и у краёв).
- Вводные обозначения
- Радиус клумбы: r
- Расстояние между клумбами и от краёв до клумб: s
- Задача упрощена так, что используется π = 3 (как в условии).
- Размеры прямоугольника
- По горизонтали: три клумбы по диаметру 2r, между ними и с обеих сторон по промежуткам s. Итого длина прямоугольника L = 3*(2r) + 4s = 6r + 4s.
- По вертикали: клумба занимает высоту 2r, сверху и снизу по промежутку s. Итого высота прямоугольника H = 2r + 2s.
Площадь прямоугольника A_rect = L * H = (6r + 4s) * (2r + 2s) = 12r^2 + 20rs + 8s^2.
Площадь самих клумб Каждая клумба — круг радиуса r, площадь круга = π r^2. Всего три клумбы: A_beds = 3 * π * r^2 = 3 * 3 * r^2 = 9 r^2 (при использовании π = 3).
Площадь территории внутри цветника, но вне клумб A_outside = A_rect - A_beds = (12r^2 + 20rs + 8s^2) - 9r^2 = 3r^2 + 20rs + 8s^2.
Вероятность Пусть семечко падает равновероятно на всю площадь прямоугольника. Тогда вероятность того, что семечко окажется вне клумб, равна отношению площадей: P = A_outside / A_rect = (3r^2 + 20rs + 8s^2) / (12r^2 + 20rs + 8s^2).
Упрощение через отношение t = s/r Пусть t = s/r (> 0). Тогда
- числитель: r^2(3 + 20t + 8t^2)
- знаменатель: r^2(12 + 20t + 8t^2)
Итого P(t) = (3 + 20t + 8t^2) / (12 + 20t + 8t^2).
- Примеры значений
- Если расстояние равно радиусу (s = r, т.е. t = 1): P = (3 + 20 + 8) / (12 + 20 + 8) = 31/40 ≈ 0.775.
- Если s очень маленько (t → 0): P → 3/12 = 1/4 = 0.25.
- Если s очень велико по отношению к r (t → ∞): P → 8t^2 / 8t^2 = 1 (практически вся площадь — вне клумб).
- Что это значит Уточнённого числового ответа без значения отношения s/r получить невозможно: вероятность зависит от того, как именно даны расстояния s относительно радиуса r. Формула P(t) позволяет посчитать ответ сразу после того, как вы либо узнаете r и s, либо их отношение t.
Если хотите, можем подставить конкретные числа r и s (или просто их отношение t) и посчитать точное значение P.
