Постройте самостоятельно графики функций: Вариант 2. 1) y=x² +1; 2) y=x²-4; 3) y=(x -4)2; 4) y=(x +1)²; 5) y = 4x² 6) y = 12x2 7) y=(x - 4)² +2; 8) y=(x +2)2-4;

Задача требует построить графики квадратичных функций. Для каждой функции используем общие свойства параболы: вершина, ось симметрии, направление раскрытия, пересечения с осями и несколько точек для построения графика. В большинстве случаев удобнее рассмотреть функцию в форме y = a(x − h)² + k (вершинная форма). Общий подход (для каждой из пунктов): - Определяем форму и параметры: y = a(x − h)² + k. - Вершина: V = (h, k). - Ось симметрии: x = h. - Направление открытия: вверх, если a > 0; вниз, если a < 0. - Пересечение с осью y: ставим x = 0, найти y. - Пересечения с осью x (если есть): решаем уравнение y = 0. - Подбираем 2–3 дополнительных точки для построения графика и соединяем плавной параболой. Задача: Вариант 2. 1) y = x² + 1; 2) y = x² − 4; 3) y = (x − 4)²; 4) y = (x + 1)²; 5) y = 4x²; 6) y = 12x²; 7) y = (x − 4)² + 2; 8) y = (x + 2)² − 4. 1) y = x² + 1 - Форма: стандартная парабола, a = 1, b = 0, c = 1. Вертикальная вершина, V = (0, 1). - Ось симметрии: x = 0. Направление раскрытия: вверх (a > 0). - Пересечение с осью y: (0, 1). - Пересечение с осью x: не имеет реальных корней (уравнение x² + 1 = 0 не имеет корней). - Доп. точки: x = ±1 → y = 2; x = ±2 → y = 5. - Кратко: вершина в (0, 1); парабола открывается вверх, центр симметрии по оси y; график выше оси y, не пересекает ось x. 2) y = x² − 4 - Форма: a = 1, b = 0, c = −4. Верная вершина V = (0, −4). - Ось симметрии: x = 0. Открывается вверх. - Пересечение с осью y: (0, −4). - Пересечения с осью x: x² − 4 = 0 → x = ±2; точки (−2, 0) и (2, 0). - Доп. точки: x = ±1 → y = −3. - Кратко: вершина в (0, −4); пересечение с осью x в ±2; открывается вверх. 3) y = (x − 4)² - Форма: сдвиг вправо на 4 по противной вершине: a = 1, h = 4, k = 0. Вершина V = (4, 0). - Ось симметрии: x = 4. Открывается вверх. - Пересечение с осью y: (0, 16) (поставьте x = 0: (−4)² = 16). - Пересечения с осью x: y = 0 достигается при x = 4 только (двойной корень). - Доп. точки: x = 5 → y = 1; x = 3 → y = 1. - Кратко: вершина в (4, 0); график касается оси x в этой точке, открывается вверх. 4) y = (x + 1)² - Форма: a = 1, h = −1, k = 0. Вершина V = (−1, 0). - Ось симметрии: x = −1. Открывается вверх. - Пересечение с осью y: (0, 1). - Пересечения с осью x: y = 0 достигается при x = −1 (один корень). - Доп. точки: x = −2 → y = 1; x = 0 → y = 1. - Кратко: вершина в (−1, 0); график касается оси x в этой точке, открывается вверх. 5) y = 4x² - Форма: a = 4 (множитель при x²), h = 0, k = 0. Вершина V = (0, 0). - Ось симметрии: x = 0. Открывается вверх. - Пересечение с осью y: (0, 0). - Пересечения с осью x: только x = 0 (один корень). - Доп. точки: x = ±1 → y = 4; x = ±0.5 → y = 1. - Кратко: вершина в начале координат; график круто сходится к оси y, очень «узкий» по сравнению с y = x². 6) y = 12x² - Форма: a = 12, h = 0, k = 0. Вершина V = (0, 0). - Ось симметрии: x = 0. Открывается вверх. - Пересечение с осью y: (0, 0). - Пересечения с осью x: только x = 0. - Доп. точки: x = ±1 → y = 12; x = ±0.5 → y = 3. - Кратко: как и пункт 5, но парабола намного уже и «круче» по углу разворота из-за большего a. 7) y = (x − 4)² + 2 - Форма: a = 1, h = 4, k = 2. Вершина V = (4, 2). - Ось симметрии: x = 4. Открывается вверх. - Пересечение с осью y: при x = 0: y = (−4)² + 2 = 16 + 2 = 18 → (0, 18). - Пересечения с осью x: уравнение (x − 4)² + 2 = 0 не имеет действительных корней (плюс 2 внутри). - Доп. точки: x = 3 → y = 1 + 2 = 3; x = 5 → y = 1 + 2 = 3. - Кратко: вершина в (4, 2); график открыт вверх, не пересекает ось x (в этой форме нет реальных корней). 8) y = (x + 2)² − 4 - Форма: a = 1, h = −2, k = −4. Вершина V = (−2, −4). - Ось симметрии: x = −2. Открывается вверх. - Пересечение с осью y: при x = 0: y = (2)² − 4 = 4 − 4 = 0 → точка (0, 0). - Пересечения с осью x: y = 0 в x = 0 и также в x = −4? Проверим: (x + 2)² − 4 = 0 → (x + 2)² = 4 → x + 2 = ±2 → x = 0 или x = −4. Так что два корня: x = 0 и x = −4; точки (0, 0) и (−4, 0). - Доп. точки: x = −1 → y = 1 − 4 = −3; x = −3 → y = 1 − 4 = −3. - Кратко: вершина в (−2, −4); парабола открывается вверх; пересекает ось x в двух точках (0,0) и (−4,0); пересечение с осью y в (0,0) тоже есть. Краткий итог по всем пунктам (для удобства запоминания): - 1) Вершина (0, 1); ось x = 0; открывается вверх; пересечение с осью x отсутствует. - 2) Вершина (0, −4); ось x = 0; открывается вверх; пересечения с осью x: (−2, 0) и (2, 0). - 3) Вершина (4, 0); ось x = 4; открывается вверх; касание оси x в (4, 0). - 4) Вершина (−1, 0); ось x = −1; открывается вверх; касание оси x в (−1, 0). - 5) Вершина (0, 0); ось x = 0; открывается вверх; единственная точка на оси x — начало координат. - 6) Вершина (0, 0); ось x = 0; открывается вверх; как и 5, но «крутизна» выше. - 7) Вершина (4, 2); ось x = 4; открывается вверх; уравнение не имеет реальных корней (входит выше оси x). - 8) Вершина (−2, −4); ось x = −2; открывается вверх; пересекает ось x в двумя точками: (0, 0) и (−4, 0). Дополнитель советы для построения на бумаге или в тетради: - Рисуйте оси, отметьте вершину (h, k) для каждого случая. - Проведите вертикальную ось симметрии через x = h. - Отметьте по 2–3 дополнительные точки на обе стороны от вершины, чтобы пропальпировать форму параболы. - Плавно соединяйте точки, чтобы получить гладкую кривую. Если хотите, могу привести конкретные таблицы точек для каждого варианта (с координатами при x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 и т.д.) или сгенерировать простые наброски графиков в виде ASCII-изображений. Также могу помочь построить графики в любом графическомилении на онлайн-тренажере или в программе (GeoGebra, Desmos) — скажите, какой формат удобнее.