Треугольник ABC задан координатоми своих вершин а(0;4), б(-3;5) с(-1;3)

Задача: треугольник ABC задан координатами вершин A(0,4), B(-3,5), C(-1,3). Шаг 1. Найдём векторы сторон - AB = B − A = (-3 − 0, 5 − 4) = (-3, 1) - AC = C − A = (-1 − 0, 3 − 4) = (-1, -1) - BC = C − B = (-1 − (-3), 3 − 5) = (2, -2) Шаг 2. Найдём длины сторон - AB = sqrt((-3)^2 + 1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10) - AC = sqrt((-1)^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2) - BC = sqrt(2^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2) Итого стороны: AB = sqrt(10), AC = sqrt(2), BC = 2*sqrt(2). Шаг 3. Определим тип треугольника (правильный ли угол) - Найдём векторы, образующие угол при C: CA = A − C = (0 − (-1), 4 − 3) = (1, 1); CB = B − C = (-3 − (-1), 5 − 3) = (-2, 2) - Скалярное произведение: CA · CB = 1·(-2) + 1·2 = -2 + 2 = 0 - Значит угол C прямой (90°). Подтверждение через так же проверку по гипотезе Пифагора: AC^2 + BC^2 = 2 + 8 = 10 = AB^2, следовательно, AB — гипотенуза, угол при C — прямой. Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный в вершине C. Катеты треугольника: CA (длина sqrt(2)) и CB (длина 2*sqrt(2)); гипотенуза AB (длина sqrt(10)). Шаг 4. Площадь треугольника - Площадь через векторы: S = 1/2 · |AB × AC|, где для 2D-векторов AB × AC = x1*y2 − y1*x2 = (-3)*(-1) − (1)*(-1) = 3 + 1 = 4 S = 1/2 · |4| = 2 - Проверка через кратчайшее выражение для прямоугольного треугольника: S = (1/2)·(длина катета1)·(длина катета2) = (1/2)·sqrt(2)·(2*sqrt(2)) = (1/2)·(2*2) = 2 Итак, площадь S = 2. Шаг 5. Периметр треугольника P = AB + BC + AC = sqrt(10) + 2*sqrt(2) + sqrt(2) = sqrt(10) + 3*sqrt(2) Приближённо: sqrt(10) ≈ 3.1623, 3*sqrt(2) ≈ 4.2426 → P ≈ 7.4049. Дополнительно (по желанию): координаты центра тяжести G = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3) = ((0 − 3 − 1)/3, (4 + 5 + 3)/3) = (-4/3, 4) ≈ (-1.333, 4) Итоговые результаты - Стороны: AB = sqrt(10), AC = sqrt(2), BC = 2*sqrt(2) - Треугольник является прямоугольным в вершине C - Площадь S = 2 - Периметр P ≈ 7.405 - При желании можно дополнительно привести координаты центра тяжести: G(-4/3, 4) Если нужно, могу привести аналогичное решение в другой форме (например, через уравнения прямых сторон или через координаты векторного произведения) или рассчитать углы более детально.