√х2-1←5-х

Чтобы решить уравнение \(\sqrt{x^2 - 1} = 5 - x\), начнем с того, что у нас есть квадратный корень. Для этого сначала нужно избавиться от корня, возведя обе стороны в квадрат:

\[ x^2 - 1 = (5 - x)^2 \]

Теперь раскроем правую часть:

\[ x^2 - 1 = 25 - 10x + x^2 \]

Упрощаем уравнение, вычитая \(x^2\) из обеих сторон:

\[ -1 = 25 - 10x \]

Теперь добавим 10x и 1 на обе стороны:

\[ 10x = 26 \]

И найдём \(x\):

\[ x = \frac{26}{10} = 2.6 \]

Теперь нужно проверить, является ли это решение верным, подставив \(x = 2.6\) обратно в исходное уравнение:

1. Вычисляем левую часть: \[ \sqrt{(2.6)^2 - 1} = \sqrt{6.76 - 1} = \sqrt{5.76} \approx 2.4 \]

2. Вычисляем правую часть: \[ 5 - 2.6 = 2.4 \]

Обе части равны, следовательно, \(x = 2.6\) – это верное решение.

Также важно отметить, что нужно проверить, что условие под корнем \((x^2 - 1) \geq 0\) выполняется:

\[ x^2 - 1 \geq 0 \implies x^2 \geq 1 \implies x \leq -1 \text{ или } x \geq 1 \]

Получается возможные решения: \(x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)\). Значение \(x = 2.6\) удовлетворяет этому условию.

Таким образом, единственное решение уравнения:

\[ x = 2.6 \]