косинус альфа =-3/5, пи вторых меньше Альфа меньше пи
Задача: cos α = -3/5, π/2 < α < π. Найдём основные тригонометрические функции и приблизительное значение угла.
Пошагово:
Используем тождество sin²α + cos²α = 1. sin²α = 1 − cos²α = 1 − (−3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25. Значит sin α = ±4/5. Вторая четверть (π/2 < α < π) требует, чтобы синус был положительным, следовательно sin α = 4/5.
Тангенс: tan α = sin α / cos α = (4/5) / (−3/5) = −4/3.
Противотангенс, секант и косекан intellect: csc α = 1 / sin α = 5/4, sec α = 1 / cos α = −5/3, cot α = 1 / tan α = −3/4.
Значение угла α: α = arccos(−3/5). Так как α во второй четверти, это значение уже учтено. Приближённо: α ≈ 2.2143 рад (около 126.87°).
Итак, получено:
- sin α = 4/5
- tan α = −4/3
- csc α = 5/4
- sec α = −5/3
- cot α = −3/4
- α ≈ 2.2143 рад ≈ 126.87°
Если нужно, могу привести графическое объяснение на окружности и проверить знаки по квадрантам.
Обсуждение
2 сообщениясделай в виде примера
Конечно! Вот полный пример решения задачи в виде пошагового разбора:
Пример
Дано: cos(α) = -3/5, где π/2 < α < π
Необходимо найти sin(α), tan(α), csc(α), sec(α) и cot(α).
Шаг 1: Нахождение sin(α)
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2(α) + \cos^2(α) = 1 \]
Подставим значение косинуса:
\[ \sin^2(α) + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \]
\[ \sin^2(α) + \frac{9}{25} = 1 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ \sin^2(α) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
Теперь найдём sin(α):
\[ \sin(α) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} \]
Так как α находится во второй четверти (π/2 < α < π), где синус положителен:
\[ \sin(α) = \frac{4}{5} \]
Шаг 2: Нахождение tan(α)
Используем отношение синуса и косинуса:
\[ \tan(α) = \frac{\sin(α)}{\cos(α)} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \]
Шаг 3: Нахождение csc(α), sec(α) и cot(α)
Теперь найдём оставшиеся функции:
- csc(α) (обратная синусу):
\[ \csc(α) = \frac{1}{\sin(α)} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4} \]
- sec(α) (обратная косинусу):
\[ \sec(α) = \frac{1}{\cos(α)} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \]
- cot(α) (обратная тангенсу):
\[ \cot(α) = \frac{1}{\tan(α)} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Результаты
Итак, мы получили следующие значения:
- \(\sin(α) = \frac{4}{5}\)
- \(\tan(α) = -\frac{4}{3}\)
- \(\csc(α) = \frac{5}{4}\)
- \(\sec(α) = -\frac{5}{3}\)
- \(\cot(α) = -\frac{3}{4}\)
Дополнительно: Нахождение значения угла
Чтобы приблизительно найти значение угла α, воспользуемся арккосинусом:
\[ α = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \]
Так как мы знаем, что α находится во второй четверти, это значение при необходимости можно вычислить в калькуляторе.
\[ α \approx 2.2143 \text{ радиан} \text{ (или около 126.87°)} \]
Этот пример демонстрирует, как решить задачу по тригонометрии шаг за шагом. Если нужны дополнительные пояснения или примеры, дай знать!
