Y=x⁶-2x⁸+1

Задача: y = x^6 - 2x^8 + 1. Цель: понять разложение на множители и характер графика. Пошаговое решение: 1) Признание структуры - Это многочлен от x, но он симметричен по x (чётный порядок степеней). Заметим, что выражение можно рассмотреть как полином в t = x^2: y = -2 t^4 + t^3 + 1, где t = x^2. 2) Поиск делителя в t - Подставим t = 1: y(1) = -2·1^4 + 1^3 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0. - Значит (t − 1) является делителем многочлена in t. Выполним деление: (-2 t^4 + t^3 + 0 t^2 + 0 t + 1) ÷ (t − 1) = -2 t^3 - t^2 - t - 1. - Таким образом: y = (t − 1)(-2 t^3 − t^2 − t − 1). 3) Приведение к более удобной форме - Вынесем минус за скобки: y = -(t − 1)(2 t^3 + t^2 + t + 1) = (1 − t)(2 t^3 + t^2 + t + 1). 4) Возврат к x - Поместим обратно t = x^2: y = (1 − x^2)(2 x^6 + x^4 + x^2 + 1). Итог факторизации: - y = (1 − x^2)(2 x^6 + x^4 + x^2 + 1). Анализ на действительных числах: 5) Корни - Второй множитель 2 x^6 + x^4 + x^2 + 1 > 0 для любого реального x (это сумма неотрицательных членов плюс 1). - Значит нули только у первого множителя: 1 − x^2 = 0 → x = ±1. - Следовательно, действительные корни: x = −1 и x = 1 (каждый простой корень). 6) Знак функции - Для |x| < 1: 1 − x^2 > 0 и второй множитель положителен, значит y > 0. - Для |x| > 1: 1 − x^2 < 0 и второй множитель положителен, значит y < 0. - В точках x = ±1: y = 0. 7) Примеры для проверки - x = 0: y = 1 (положительно). - x = 2: y = 64 − 2·256 + 1 = -447 (отрицательно). Вывод - Полное разложение: y = (1 − x^2)(2 x^6 + x^4 + x^2 + 1). - Действительные корни: x = −1, x = 1. - Знак: y > 0 на (-1, 1), y < 0 на (-∞, −1) и (1, ∞).