y=(4x-9)⁷

Задача: y = (4x - 9)^7. Поскольку цель — понять, разоберём по биномиальной формуле.

1. Применяем биномиальную формулу (а + b)^n = Σ_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k} b^k. Здесь a = 4x, b = -9, n = 7. Значит: (4x - 9)^7 = Σ_{k=0}^7 C(7, k) (4x)^{7-k} (-9)^k.

2. Вычислим каждую часть по k = 0..7

• k = 0: C(7,0) (4x)^7 (-9)^0 = 1 · 4^7 x^7 = 16384 x^7
• k = 1: C(7,1) (4x)^6 (-9)^1 = 7 · 4^6 x^6 · (-9) = -258048 x^6
• k = 2: C(7,2) (4x)^5 (-9)^2 = 21 · 4^5 x^5 · 81 = 1741824 x^5
• k = 3: C(7,3) (4x)^4 (-9)^3 = 35 · 4^4 x^4 · (-729) = -6531840 x^4
• k = 4: C(7,4) (4x)^3 (-9)^4 = 35 · 4^3 x^3 · 6561 = 14696640 x^3
• k = 5: C(7,5) (4x)^2 (-9)^5 = 21 · 4^2 x^2 · (-59049) = -19840464 x^2
• k = 6: C(7,6) (4x)^1 (-9)^6 = 7 · 4 x · 531441 = 14880348 x
• k = 7: C(7,7) (4x)^0 (-9)^7 = 1 · 1 · (-4782969) = -4782969

3. Сложим всё вместе y = (4x - 9)^7 = 16384 x^7 - 258048 x^6 + 1741824 x^5 - 6531840 x^4 + 14696640 x^3 - 19840464 x^2 + 14880348 x - 4782969.

Проверка на конкретном примере: для x = 0 имеем y = (-9)^7 = -4 782 969, что согласуется с полиномом.

Если нужен, могу также показать производную: dy/dx = 7(4x - 9)^6 · 4 = 28(4x - 9)^6. Или рассмотреть другие способы упрощения/факторизации.