Построить график y=x+3/x^2+3x при каком значении м прямая у=м имеет с графиком ровно одну общую точку

Рассмотрим функцию y = x + 3/x^2 + 3x = 4x + 3/x^2, при x ≠ 0. График имеет вертикальную асимптоту в x = 0; две ветви: левая (x < 0) и правая (x > 0). 1) Левая ветвь (x < 0) f'(x) = 4 - 6/x^3. Так как x < 0, x^3 < 0 и -6/x^3 > 0, значит f'(x) > 0. Ветка строго возрастает от -∞ (при x → -∞) до +∞ (при x → 0-). Следовательно, для любого m ∈ R на левой ветке найдётся ровно одна точка пересечения с линией y = m. 2) Правая ветвь (x > 0) f'(x) = 4 - 6/x^3. Единственный критическийPoint при x^3 = 3/2, т.е. x0 = ∛(3/2). Это минимум, поскольку f''(x) = 18/x^4 > 0 для x > 0. Минимальное значение на правой ветви: y_min = f(x0) = 4x0 + 3/x0^2. Из условия f'(x0) = 0 получаем 4x0^3 = 6, т.е. x0^3 = 3/2. Тогда y_min = 4x0 + 3/x0^2 = 9/x0^2 = 9/(3/2)^{2/3} = ∛324. Численно ∛324 ≈ 6.87. На правой ветви: - если m < ∛324, пересечений правой ветви нет; - если m = ∛324, одна точка пересечения (прикосновение); - если m > ∛324, две точки пересечения. Итак, общее число точек пересечения линии y = m с графиком: - 1 точка, когда m < ∛324; - 2 точки, когда m = ∛324; - 3 точки, когда m > ∛324. Ответ: прямая y = m имеет ровно одну общую точку с графиком, если m < ∛324 (приближенно m < 6.87). Можно также отметить точку минимума правой ветви: x0 = ∛(3/2), y0 = ∛324.