У Антона в комнате поменяли люстру, и теперь ему нужно купить новую лампочку. Обычная лампочка дешевле, но потребляет больше электричества. Энергосберегающая стоит дороже…
У Антона в комнате поменяли люстру, и теперь ему нужно купить новую лампочку. Обычная лампочка дешевле, но потребляет больше электричества. Энергосберегающая стоит дороже изначально, зато экономит электричество. Антон решил найти экономическую выгоду энергосберегающих лампочек. Обычная лампочка стоит aa рублей и потребляет x ватт в час. Энергосберегающая лампочка стоит b рублей и потребляет y ватт в час. Стоимость электроэнергии составляет p копеек за 1 ватт в час. Через сколько часов энергосберегающая лампочка начнёт окупаться и становиться экономически выгодной, то есть стоимость её покупки и использования станет не больше, чем у обычной? Формат входных данных Программа получает на вход 5 целых неотрицательных чисел a, x, b, y и p, записанных в отдельных строках, — цена обычной лампочки, энергопотребление обычной лампочки, цена энергосберегающей лампочки, энергопотребление энергосберегающей лампочки и цена 1 ватта электроэнергии соответственно. Все числа не превосходят 109. Гарантируется, что ay. Формат выходных данных Программа должна вывести одно целое число — через сколько целых часов стоимость покупки и использования обычной лампочки будет не меньше, чем энергосберегающей. Обратите внимание, что значение ответа в этой задаче может превышать возможное значение 32‑битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64‑битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип Система оценки Решения, правильно работающие при a, x, b, y, p⩽108, будут оцениваться в 50 баллов. Замечание В примере из условия обычная лампочка стоит 20 рублей и потребляет 90 ватт в час. Через 29 часов общий расход на лампочку (покупка + расход электроэнергии) составит 150 рублей 50 копеек. Энергосберегающая лампочка стоит 120 рублей и потребляет 20 ватт в час. Через 29 часов общий расход на энергосберегающую лампочку будет 149 рублей. Посчитаем расходы лампочек за 28 часов: обычная лампочка — 146 рублей, энергосберегающая — 148 рублей. Обычная лампочка всё ещё выгоднее. Получается, через 29 часов энергосберегающая лампочка начнёт окупаться и становиться экономически выгодной по сравнению с обычной лампочкой при входных данных из условия. Ввод 20 90 120 20 5 Вывод 29
Вот подробное решение задачи с объяснениями.
Цель и входные данные
- Обозначения: обычная лампочка стоит a рублей и потребляет x ватт-часов (Вт·ч) за час, энергосберегающая стоит b рублей и потребляет y ватт за час. Стоимость электроэнергии p копеек за 1 ватт-час.
- Необходимо найти минимальное целое число часов t, через которое покупка и эксплуатация энергосберегающей лампочки станет не дороже обычной.
Понимание единиц
- За t часов обычная лампочка потребляет x * t ватт-часов, стоит энергия: p копеек за каждый ватт-час, итого p * x * t копеек.
- Энергосберегающая за t часов потребляет y * t ватт-часов, итого p * y * t копеек.
- Покупка лампочек: обычная a рублей, энергосберегающая b рублей. Приведём к одной единице (копейкам): a * 100 копеек и b * 100 копеек.
Неравенство для окупаемости Энергосберегающая становится экономически выгодной, когда общие траты на неё меньше или равны общим затратам на обычную: b100 + pyt <= a100 + pxt
Приводим к простому виду
- Переносим члены с t в одну сторону: b100 - a100 <= p*(x - y)*t
- Заметим, что x > y (энергосберегающая потребляет меньше) и p > 0, поэтому p*(x - y) > 0.
- Отсюда получаем выражение для минимального t: t >= (b - a) * 100 / ( p * (x - y) )
Требуется целое число часов, поэтому берем ceil: t_min = ceil( (b - a) * 100 / ( p * (x - y) ) )
Условия задачи
- По условию a < b и x > y, поэтому числитель (b - a) * 100 > 0 и знаменатель p*(x-y) > 0. Так что ответ существует и больше нуля.
- Все входные значения ≤ 10^9, поэтому для вычислений удобно использовать 64-битные целые (например long long в C++, int64_t в C/C++, Python int и т. п.).
Пример Из условия: a = 20, x = 90, b = 120, y = 20, p = 5 t_min = ceil( (120-20) * 100 / (5 * (90-20)) ) = ceil( 100 * 100 / (5 * 70) ) = ceil( 10000 / 350 ) = 29 Это совпадает с примером в задаче.
Как реализовать решение (показано на C++ как один из вариантов)
- Используйте 64-битные целые числа.
- Вычисляйте numerator = (b - a) * 100
- Вычисляйте denominator = p * (x - y)
- Ответ: t = (numerator + denominator - 1) / denominator (целочисленное деление с потолком)
Пример кода (C++)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std;
int main() { long long a, x, b, y, p; if (!(cin >> a >> x >> b >> y >> p)) return 0;
long long numerator = (b - a) * 100; // разницу в стоимости в копейках
long long denom = p * (x - y); // экономия на электроэнергии в копейках за час
// минимальные часы, округляем вверх
long long t = (numerator + denom - 1) / denom;
cout << t << "\n";
return 0;
}
Замечания
- Формула корректна при любых допустимых входных значениях, где a < b и x > y.
- ЧислаConveniently помещаются в 64-битные типы: numerator ≤ 1e11, denom ≤ 1e18, поэтому операция (numerator + denom - 1) безопасна в 64-битном типе.
- Если хотите добавить дополнительную защиту на случай необычных входов, можно проверить denom > 0 перед вычислениями и обработать ситуацию отдельно, но по условию это не требуется.
Итого Минимальные целые часы, через которые энергосберегающая лампочка окупится, равны t_min = ceil( (b - a) * 100 / ( p * (x - y) ) ), и в примере это 29 часов.
