Проведём через точку А прямую b, перпендикулярную плоскости а. Пусть В — точка пересечения прямой b с плоскостью а. Тогда АВ — перпендикуляр к плоскости а, а АН - его проекция на эту плоскость. По условию, прямая а в плоскости а проходит через точку Н и перпендикулярна АН.

Кратко о конфигурации (по условию и общим геометрическим фактам): - Пусть плоскость называется α. - Через точку A (не обязательно в плоскости α) проведём прямую b, перпендикулярную плоскости α. - B — точка пересечения прямой b с плоскостью α. Тогда AB ⟂ α. - N — проекция точки A на плоскость α (то же самое, что и подпроекция AB на плоскость α): AN ⟂ α и N ∈ α. - По условию, прямая α имеет в себе точку N и перпендикулярна AN (то есть в самом условии говорится, что a ⊂ α и a проходит через N, причём a ⟂ AN). Заметим, что в обычной постановке B и N оказываются той же самой точкой: прямая b — это прямая, проходящая через A и перпендикулярная α; её пересечение с α — этоFoot of the perpendicular, то есть точка B, через которую эта же прямая перпендикулярна α. Следовательно B совпадает с N (N — проекция точки A на плоскость α по нормали к α). Это стандартное свойство: если через A проведена прямая перпендикулярно плоскости α, то она встречает α в одной точке — точке B, которая является проекцией A на α; следовательно B = N. Пошаговое решение и пояснения 1) Определения и основные факты - AB — прямая, проходящая через A и перпендикулярная α, потому что b ⟂ α и B = b ∩ α. - N — точка в α such that AN ⟂ α (N — перпендикуляр A к α). - Так как прямая, перпендикулярная α, встречает α в единой точке, этой точке соответствует и B, и N: B = N. 2) Следствие по геометрии - AB ⟂ α (это следует из того, что b перпендикулярна α). - AN ⟂ α (по определению проекции A на α). - Так как B = N и AB лежит по одной прямой с AN (это одна и та же прямая, проходящая через A и пересекающая α в единой точке B = N), то AN и AB совпадают как направления (одна и та же прямая, просто обозначенная двумя способами: через A и через N). 3) Взаимное расположение линий внутри плоскости α - Любая прямая a, находящаяся в плоскости α и проходящая через N, перпендикулярна AN, потому что AN ⟂ α и любая прямая в α через N перпендикулярна любой нормали к α в точке N. - В частности, условие «прямая a в плоскости α проходит через N и перпендикулярна AN» автоматически выполняется для любой прямой a, лежащей в α и проходящей через N. 4) Что это значит для задачи - Основное геометрическое содержимое задачи сводится к стандартному свойству: прямая b через A, перпендикулярная плоскости α, пересекает α в единой точке B, которая является проекцией A на α (N). Таким образом B = N и AB ⟂ α, AN ⟂ α. - Условие о перпендикулярности прямой a к AN внутри плоскости α не ограничивает выбор a дополнительно: любой выбор a в α, проходящей через N, удовлетворяет этому условию. Если вы хотите проверить на конкретном примере: - Пусть α — плоскость z = 0, точка A — (0, 0, h) с h > 0. - Прямая b — ось z: b: (0, 0, t). - Её пересечение с α: B = (0, 0, 0). - Ничего особенного не меняется: N — та же точка (0, 0, 0), потому что проекция A на z = 0 — это (0, 0, 0). - Любая прямая a в плоскости z = 0, проходящая через N = (0,0,0), перпендикулярна AN ( AN — вертикальная прямая через A и N ), т.е. удовлетворяет условиям. Возможная путаница и поправки к формулировке - В стандартной постановке обычно N и B совпадают: N — точка на плоскости α, где AB ⟂ α; B — та же точка пересечения AB с α. Поэтому в таких задачах можно просто говорить о проекции A на α как N, а о месте пересечения с α как о той же точке N. - Если же автор имел в виду «AN» как какое-то другое линейное отношение (например, проекцию AB на α в виде NB), формулировка могла быть скорректирована. Но в любом случае вывод остается: AB ⟂ α; AN ⟂ α; и прямая a в α через N перпендикулярна AN. Если нужно, могу привести альтернативную версию решения при другой интерпретации проекта (например, когда AN обозначает проекцию на плоскость другой отрезкой или когда B и N не совпадают). Также могу подготовить наглядное объяснение или короткий чертёж.