Задача Задача №3478803
А
А
какие прямые называются перпендикулярными
Коротко: две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются и угол между ними равен 90°.
Разбор по шагам (для общего школьного уровня):
- Определение
- Перпендикулярные прямые: перекрещиваются под углом 90°, т. е. образуют прямой угол.
- Как проверить это в разных формах записи
Если прямые заданы как y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2:
- Прямые перпендикулярны тогда, когда k1 · k2 = -1.
- Пример: y = 3x + 2 и y = -(1/3)x + 5 имеют k1 = 3, k2 = -1/3, произведение = -1 → перпендикулярны.
Если одна прямая вертикальная, а другая горизонтальная:
- Вертикальная: x = a
- Горизонтальная: y = b
- Такие две прямые всегда перпендикулярны.
В общей форме Ax + By + C = 0 и Dx + Ey + F = 0:
- Прямые перпендикулярны тогда, когда AD + BE = 0.
- Это выписывается из условия перпендикулярности векторных норм к прямым.
Пример: 2x + y - 3 = 0 и x - 2y + 4 = 0
- A = 2, B = 1, D = 1, E = -2 → AD + BE = 2·1 + 1·(-2) = 2 - 2 = 0 → перпендикулярны.
- Векториальная интерпретация
- Направляющие вектора прямой перпендикулярны.
- Для Ax + By + C = 0 направляющий вектор равен (−B, A). Для Dx + Ey + F = 0 — (−E, D).
- Прямые перпендикулярны тогда, когда (−B, A) · (−E, D) = 0, то есть AD + BE = 0.
- Примеры для закрепления
Пример 1:
- y = 4x + 1 и y = -1/4 x + 7
- k1 = 4, k2 = -1/4, k1·k2 = -1 → перпендикулярны.
Пример 2:
- x = 5 и y = -3
- Перпендикулярны (вертикальная и горизонтальная прямые).
Пример 3:
- y = 2x + 3 и y = 2x - 5
- k1 = 2, k2 = 2, k1·k2 = 4 ≠ -1 → не перпендикулярны.
Пример 4 (обобщённый случай):
- 2x + y - 3 = 0 и x - 2y + 4 = 0
- A=2, B=1, D=1, E=-2 → AD + BE = 2·1 + 1·(-2) = 0 → перпендикулярны.
- Что не является перпендикулярными
- Две параллельные прямые не могут быть перпендикулярны между собой (угол 0° или 180°).
- Две прямые, которые пересекаются под углом, отличным от 90°, не являются перпендикулярными.
Краткое резюме
- Перпендикулярны: пересекаются и образуют угол 90°.
- Проверка по наклонам: k1·k2 = -1 (для не вертикальных прямых).
- Вертикальная и горизонтальная пары — всегда перпендикулярны.
- Общая форма Ax + By + C = 0 и Dx + Ey + F = 0 дает условие AD + BE = 0.
