реши пример через замену переменной t: интеграл dx/2x²+8x

Задача: решить интеграл через замену переменной t: ∫ dx / (2x^2 + 8x)

Пошагово с заменой t

1. Вынесем и запишем через простую дробь:

• 2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x)
• Итак, I = ∫ dx / (2x^2 + 8x) = (1/2) ∫ dx / (x^2 + 4x)

2. Дополнить квадрат в знаменателе:

• x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
• Пусть t = x + 2, тогда dt = dx

3. Перепишем интеграл через t:

• I = (1/2) ∫ dt / (t^2 - 4)

4. Используем стандартную формулу для интеграла 1/(t^2 - a^2):

• ∫ dt / (t^2 - a^2) = (1/(2a)) ln| (t - a) / (t + a) | + C
• Здесь a = 2, значит ∫ dt / (t^2 - 4) = (1/4) ln| (t - 2) / (t + 2) | + C

5. Подставим и получим итог:

• I = (1/2) * (1/4) ln| (t - 2) / (t + 2) | + C = (1/8) ln| (t - 2) / (t + 2) | + C
• Возвращаем t = x + 2: I = (1/8) ln| (x + 2 - 2) / (x + 2 + 2) | + C = (1/8) ln| x / (x + 4) | + C

Ответ: ∫ dx / (2x^2 + 8x) = (1/8) ln| x / (x + 4) | + C

Пояснение/проверка:

• Можно разложить через частичные дроби: 1/(2x(x+4)) = (1/8)(1/x) - (1/8)(1/(x+4)), что даёт тот же результат: (1/8) ln|x| - (1/8) ln|x+4| + C = (1/8) ln| x/(x+4) | + C.
• Область определения: x ≠ 0 и x ≠ -4. Тогда выражение под логарифмом в абсолютной величине корректно.