3. Отрезок AD биссектриса треугольника АВС, точка - центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Плоскость а проходит через точки А, О и С. Докажите, что точка В лежит в…

Краткое решение (пояснение по шагам)

Цель: доказать, что точка B лежит в плоскости α, которая проходит через A, O и C, где O — центр вписанной окружности треугольника ABC, а AD — биссектриса угла A (D лежит на BC).

Шаги:

1. О O — вектор инцесентра. Точка O — пересечение внутренних биссектрис углов треугольника ABC. Это означает, что линии AO и CO лежат в плоскости, содержащей треугольник ABC (плоскость ABC). Поэтому O принадлежит той же плоскости, что и A, B, C.

2. Плоскость α, проходящая через A, O и C, coincide с плоскостью треугольника ABC. Так как A и C уже лежат в плоскости ABC, а O тоже лежит в этой же плоскости, то плоскость, задаваемая тремя точками A, O, C, есть та же самая плоскость, что и плоскостьABC.

3. Так как B принадлежит плоскости ABC (B — вершина треугольника), то B принадлежит и плоскости α. Следовательно, B лежит в плоскости α.

Замечание. Условие AD — биссектриса упоминается в задаче для определения O (O лежит на AO, поскольку AO — биссектриса угла A; то есть O lies на AD). Но для доказательства принадлежности B плоскости α достаточно того, что O лежит в плоскости ABC, что следует из определения инциссентра.

Дополнительная альтернативная ясность (координатно):

• Можно считать плоскость ABC равной плоскости z = 0. Тогда A = (x1,y1,0), B = (x2,y2,0), C = (x3,y3,0).
• Инцентр O тоже имеет z = 0, так как AO и CO лежат в плоскости z = 0.
• Плоскость α через A, O и C — это тоже плоскость z = 0, в которой лежит B. Значит B ∈ α.

Ответ: точка B действительно лежит в плоскости α.