Можно ли через середину стороны треугольника прямую которая не имела бы общих точек с другой стороной?

Ответ: Нет, такой прямой не существует.

Пояснение по шагам:

• Пусть треугольник ABC, и M — середина стороны AB.
• Рассмотрим произвольную прямую l, проходящую через M.

Случай 1. l совпадает с прямой AB.

• Тогда l уже имеет общие точки с другой стороной: она пересекает сторону AC в точке A и сторону BC в точке B. Значит, такие точки существуют, что противоречит условию.

Случай 2. l не совпадает с AB.

• Внутренняя часть треугольника находится с одной стороны от прямой AB (треугольник выпуклый). Любая прямая, проходящая через точку M на AB и не совпадающая с AB, при малом смещении относительно AB зайдет в interior треугольника.
• Затем эта прямая выйдет из треугольника через одну из оставшихся сторон: AC или BC. То есть у неё обязательно будут общие точки с одной из сторон, отличной от AB.

Итого, независимо от направления через середину AB, прямая либо совпадает с AB (и пересекает другие стороны в вершинах), либо пересекает треугольник и имеет общую точку с одной из других сторон. Значит, ни одна прямая через середину стороны не может не иметь общих точек с другой стороной.