Задача сводится к тепловому балансу в идеальной теплоизолированной системе.
Дано:
- масса льда m = 1 кг, начальная температура t1 = 0°C
- пар при t2 = 100°C
- удельная теплота плавления льда L_f = 330 кДж/кг = 3.30×10^5 Дж/кг
- удельная теплоёмкость воды c = 4200 Дж/(кг·°C)
- удельная теплота парообразования L_v = 2.3×10^6 Дж/кг
Пусть через сосуд пройдет s кг пара (который конденсируется и затем охлаждается до финальной температуры T_final). Тогда:
- энергия, выделяемая паром при конденсации и охлаждении до T_final: E_par = s [L_v + c (t2 − T_final)]
- энергия, необходимая льду для плавления и нагрева получившейся воды до T_final: E_льда = m L_f + m c (T_final − t1)
Баланс энергии для полного растворения льда:
s [L_v + c (t2 − T_final)] = m L_f + m c (T_final − t1)
Так как t1 = 0 и m = 1, получаем:
s (L_v + c (100 − T_final)) = L_f + c T_final
Отсюда:
s(T_final) = [L_f + c T_final] / [L_v + c (100 − T_final)]
Чтобы минимизировать необходимое количество пара, найдём, при каком T_final этот показатель минимален. Видно, что знаменатель уменьшается при увеличении T_final, а числитель увеличивается при росте T_final, поэтому нужно проверить границы. Формально можно заметить, что производная s'(T_final) положительна, значит минимум достигается при минимальном допустимом T_final. Минимально допустимая температура смеси — 0°C (лед и вода при 0°C допускаются в смеси после плавления).
Итак, минимальное количество пара достигается при T_final = 0°C. Тогда:
s_min = L_f / (L_v + c·100)
Подставим значения:
- L_f = 3.30×10^5 Дж/кг
- L_v = 2.30×10^6 Дж/кг
- c·100 = 4200×100 = 4.20×10^5 Дж/кг
Деноминатор: L_v + c·100 = 2.30×10^6 + 4.20×10^5 = 2.72×10^6 Дж/кг
s_min = (3.30×10^5) / (2.72×10^6) ≈ 0.1213 кг
Переведём в граммы: 0.1213 кг ≈ 121 г
Ответ: минимальное количество пара ≈ 121 г (округлено до целых грамм).
