корень 164

Задача: вычислить корень из 164.

Пошаговое решение

1. Найдём точное по радикалу представление

• 164 можно разложить как 4 · 41.
• Тогда sqrt(164) = sqrt(4 · 41) = sqrt(4) · sqrt(41) = 2 · sqrt(41).

2. Оценим simplify

• Число 41 является простым, поэтому корень из 41 не может быть упрощён дальше в виде целого числа или рационального множителя.
• В точном виде ответ: sqrt(164) = 2 sqrt(41).

3. Десятичное приближение

• sqrt(41) примерно равно 6.403124237...
• Следовательно sqrt(164) = 2 · sqrt(41) ≈ 2 · 6.403124237 ≈ 12.806248475.
• Округление: sqrt(164) ≈ 12.80625 (до 5 знаков после запятой). Можно взять и 12.81 для двух знаков после запятой.

4. Быстрое приближение методом Ньютона (для наглядности)

• Пусть x0 = 12.8 (приближённая корень между 12 и 13).
• Пересчёт по формуле x_{n+1} = (x_n + 164/x_n)/2.
• x1 = (12.8 + 164/12.8)/2 = (12.8 + 12.8125)/2 = 12.80625.
• Примерно ещё точнее: x2 ≈ 12.806248... .
• В итоге sqrt(164) ≈ 12.80625 (с учётом округления).

Ответ

• Точное выражение: sqrt(164) = 2 sqrt(41).
• Десятичное приближение: sqrt(164) ≈ 12.80625.