найди определенный интеграл: (x-3)^2dx ограничения (1, -2) найди площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+2, y=x+4 найди объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс…

Ниже решения по трём задачам с пошаговыми объяснениями.

1. Определённый интеграл ∫ from 1 до -2 of (x - 3)² dx

• Замечание: верхний предел меньше нижнего; результат может получиться отрицательным. Можно записать как -∫_{-2}^{1} (x - 3)² dx.
• Раскроем квадрат и найдём первообразную: (x - 3)² = x² - 6x + 9 ∫(x² - 6x + 9) dx = (1/3)x³ - 3x² + 9x + C
• Вычислим по пределам: F(x) = (1/3)x³ - 3x² + 9x F(-2) = (1/3)(-8) - 3·4 + 9(-2) = -8/3 - 12 - 18 = -98/3 F(1) = (1/3)(1) - 3·1 + 9·1 = 1/3 - 3 + 9 = 19/3 ∫_{1}^{-2} (x - 3)² dx = F(-2) - F(1) = (-98/3) - (19/3) = -117/3 = -39
• Ответ: -39

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² + 2 и y = x + 4

• Найдём точки пересечения: x² + 2 = x + 4 → x² - x - 2 = 0 → (x - 2)(x + 1) = 0 → x = -1, 2.
• Значит границы по x: от -1 до 2.
• Определим, какая функция сверху между этими точками: (x + 4) - (x² + 2) = -x² + x + 2 = -(x - 2)(x + 1). В промежутке [-1, 2] это значение ≥ 0, значит прямая выше параболы.
• Площадь равна ∫{-1}^{2} [ (x + 4) - (x² + 2) ] dx = ∫{-1}^{2} (-x² + x + 2) dx.
• Приведём интеграл: ∫(-x²) dx = -(1/3)x³, ∫x dx = (1/2)x², ∫2 dx = 2x. Антидериват: F(x) = -(1/3)x³ + (1/2)x² + 2x.
• Вычислим: F(2) = -8/3 + 2 + 4 = 10/3 F(-1) = 1/3 + 1/2 - 2 = -7/6 ∫ = F(2) - F(-1) = 10/3 - (-7/6) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 9/2
• Ответ: 9/2

3. Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной y = x² и y = x

• Найдём точки пересечения: x² = x → x(x - 1) = 0 → x = 0, 1.
• Между 0 и 1 графики: для 0 < x < 1 y = x выше, чем y = x². Значит при вращении вокруг оси Ox образуется торцевая система весов (стенки — рото).
• Радиусы: наружный R = y_TOP = x, внутренний r = y_BOTTOM = x².
• Объём по формуле винтовых сечений (“ваши” диск-тор): V = π ∫{0}^{1} (R² - r²) dx = π ∫{0}^{1} (x² - x⁴) dx.
• Интегрируем: ∫ x² dx = (1/3)x³, ∫ x⁴ dx = (1/5)x⁵. V = π [ (1/3)x³ - (1/5)x⁵ ]_0^1 = π[(1/3) - (1/5)] = π[(5/15 - 3/15)] = π(2/15) = 2π/15.
• Ответ: 2π/15

Итоговые ответы:

• ∫_{1}^{-2} (x - 3)² dx = -39
• Площадь фигуры = 9/2
• Объём при вращении вокруг оси абсцисс = 2π/15