реши задачу Сколькими способами можно представить число 180 в виде произведения трёх натуральных чисел? ( порядок чисел важен) легким способом

Идея решения: разбиваем каждую простую степень числа 180 между трёмя натуральными числами a, b, c. Поскольку порядок важен, каждую экспоненту e p разложим по трём неотрицательным целым числам.

1. Приведём число к простым множителям: 180 = 2^2 · 3^2 · 5^1

2. Для каждой степени e распределяем её между a, b, c: e1 + e2 + e3 = e, где ei ≥ 0. Количество решений этой задачи равняется сочетанию C(e + 2, 2) (метод «звёзды и палки»).

3. Посчитаем по каждой степени:

   • для 2^2: e = 2 → C(2+2, 2) = C(4, 2) = 6 способов
   • для 3^2: e = 2 → C(4, 2) = 6 способов
   • для 5^1: e = 1 → C(1+2, 2) = C(3, 2) = 3 способа

4. Так как распределения по разным простым независимы, общее число равно произведению:

   6 · 6 · 3 = 108

Ответ: 108 способов.