Синус и косинус двойного угла формулы половинного угла

Задача: разобрать синус и косинус двойного угла через формулы половинного угла. Коротко напомним нужные формулы. 1) Формулы половинного угла - sin(φ/2) = ± sqrt((1 - cos φ)/2) - cos(φ/2) = ± sqrt((1 + cos φ)/2) Примечание: знак зависит от квадранта угла φ/2. 2) Классические формулы двойного угла (для связывания с обычными ответами) - sin(2x) = 2 sin x cos x - cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x = 1 - 2 sin^2 x = 2 cos^2 x - 1 Зачем это полезно: можно получить двойной угол через углы, выраженные через половинные углы. 3) Как получить синус и косинус двойного угла через половинные углы Пусть x — любой угол. Воспользуемся тем, что - sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2) - cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) Далее подставим эти выражения в формулы двойного угла. а) sin(2x) - По определению: sin(2x) = 2 sin x cos x - Подставляем: sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2) и cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) - Получаем: sin(2x) = 2 [2 sin(x/2) cos(x/2)] [cos^2(x/2) - sin^2(x/2)] sin(2x) = 4 sin(x/2) cos(x/2) [cos^2(x/2) - sin^2(x/2)] б) cos(2x) - По определению: cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x - Подставляем: cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2), sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2) - Получаем: cos(2x) = [cos^2(x/2) - sin^2(x/2)]^2 - [2 sin(x/2) cos(x/2)]^2 cos(2x) = cos^4(x/2) - 2 sin^2(x/2) cos^2(x/2) + sin^4(x/2) - 4 sin^2(x/2) cos^2(x/2) cos(2x) = cos^4(x/2) + sin^4(x/2) - 6 sin^2(x/2) cos^2(x/2) Примечания и альтернативы: - Обычно удобнее работать со стандартными формулами двойного угла в терминах sin x и cos x: sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x = 1 - 2 sin^2 x = 2 cos^2 x - 1 - Формулы через половинный угол получаются не столь компактными, но полезны, если задача прямо требует выражать через sin(x/2) и cos(x/2). 4) Пример проверки (практическая иллюстрация) Возьмем x = 30 градусов (π/6). Тогда x/2 = 15°. - sin(2x) по обычной формуле: sin(60°) = √3/2 ≈ 0.8660 - по формуле через половинный угол: s = sin(15°) ≈ 0.2588, c = cos(15°) ≈ 0.9659 sin(2x) = 4 s c (c^2 - s^2) ≈ 4 * 0.2588 * 0.9659 * (0.9330 - 0.06699) ≈ 0.8660 - cos(2x) по обычной формуле: cos(60°) = 1/2 = 0.5 - по формуле через половинный угол: cos(2x) = cos^4(15°) + sin^4(15°) - 6 sin^2(15°) cos^2(15°) ≈ 0.8750 - 0.3749 ≈ 0.5001 (практически совпадает) Итого: - Через половинный угол синус и косинус двойного угла можно выразить так: sin(2x) = 4 sin(x/2) cos(x/2) [cos^2(x/2) - sin^2(x/2)] cos(2x) = [cos^2(x/2) - sin^2(x/2)]^2 - [2 sin(x/2) cos(x/2)]^2 - А в более удобной форме по классическим формулам: sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x = 1 - 2 sin^2 x = 2 cos^2 x - 1 Если хотите, могу привести ещё несколько примеров под разные квадранты или разобрать, как знаки в формулах половинного угла зависят от quadrant.