В треугольнике ABC угол B равен 68∘, биссектрисы углов BAC и ACB пересекаются в точке O. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах

Решение

• Так как O — пересечение биссектрис углов BAC и ACB, то O является инсером треугольника ABC.

• Обозначим O как I (инсентер). Тогда OA и OC лежат на биссектрисах углов A и C соответственно. Рассмотрим треугольник AIC (то же, что и AOC с центром в I).

• В треугольнике AIC углы при вершинах A и C равны соответственно A/2 и C/2, потому что IA и IC являются биссектрисами углов A и C.

• Следовательно, угол AIC равен: ∠AIC = 180° − (A/2 + C/2) = 180° − (A + C)/2.

• Так как A + B + C = 180°, то A + C = 180° − B. Подставляя, получаем: ∠AIC = 180° − (180° − B)/2 = 90° + B/2.

• Но ∠AOC = ∠AIC, так как O = I — инцентр, и угол между OA и OC равен углу между IA и IC.

• Подставим B = 68°: ∠AOC = 90° + 68°/2 = 90° + 34° = 124°.

Ответ: 124°.